微专题4 数列中的奇偶项问题-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题4 数列中的奇偶项问题 1. 数列中的奇数项、偶数项问题实质上是分类讨论思想的应用，是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定； 2. 常用知识点： (1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列． (2) 在项数为奇数2n－1的等差数列中：＝；S奇－S偶＝an＝a中；S2n－1＝(2n－1)an＝a中·项数． (3) 在项数为偶数2n的等差数列中：＝；S偶－S奇＝nd; S2n＝n(an＋an＋1)． (4) 等比数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等比数列，公比都是q2. 题型一 等差或等比奇偶项问题 1 题型二 数列中连续两项和或积的问题（或） 4 题型三、含有类型 6 题型四 含有、类型 9 题型一 等差或等比奇偶项问题 【例1】已知等差数列共有项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为　　 A． B． C． D． 【分析】求出等差数列的奇数项和与偶数项和，然后直接作比得答案． 【解答】解：等差数列共有项，那么奇数项有个，偶数项有个， ，． 于是． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的性质，是基础的计算题． 【例2】已知等差数列中，前项为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且，则数列公差为　　 A． B．4 C．6 D． 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：由题意可得，，， ， ， 解可得，． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题． 【变式1-1】已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】先求出公比，再利用等比数列前项和公式能求出这个数列的项数． 【解答】解：一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682， 公比， ，解得． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的项数的求法，考查等比数列性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 【变式1-2】若是等差数列的奇数项的和，是等差数列的偶数项的和，是等差数列的前项的和，则有如下性质： （1）当为偶数时，则　　（其中为公差）； （2）当为奇数时，则　 　，　 　，　 　，　 　；　 　（其中是等差数列的中间一项）． 【分析】根据等差数列的前项公式和等差中项的定义即可推出结论 【解答】解：设公差为， （1）当为偶数时，因为，则， （2）当为奇数时， ， ， ， ， ， 故答案为：（1），（2），，，， 【点评】本题主要考查了等差数列的前项公式和等差中项的定义，属于基础题 题型二 数列中连续两项和或积的问题（或） 【例1】定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列，且，前7项的和为14，则下列结论正确的是　　 A． B． C．公积为1 D． 【分析】设为常数），则，所以，即，再结合，前7项的和为14，即可依次求解． 【解答】解：设为常数），则， 所以，即，故正确， 前7项的和为14，， ，， ，即公积为2，故正确，错误， 当为奇数时，，当为偶数时，，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的概念，以及简单的表示法，考查计算能力，属于基础题． 【例2】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为　 　． 【分析】利用“等和数列”的性质即可得出． 【解答】解：，，解得，又，解得，同理可得． 故答案为：3． 【点评】本题考查了“等和数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式2-1】按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为　3　． 【分析】由等和数列的定义，我们可得等和数列的所有奇数项相等，所有偶数项也相等，进而根据，公和为5，即可得到结论． 【解答】解：，公和为5， ，，，，，， ， 故答案为：3 【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【变式2-2】定义“等和数列”：在一个数列，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数，且，公和