微专题3 数列中的函数特征-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题3 数列中的函数特征 数列是以自变量为正整数集的一类特殊函数,是高中数学中的重要内容.借助数列的函数特性解决数列问题在一定程度上简化运算,同时也对数列的几何意义有更深刻的认识.借助函数的定义、图象、性质以及构造函数几种途径研究和解决数列问题,对于解决数列通项、数列最值等问题有重要作用.数列是按照一定顺序排列的一列数[1].数列是一种特殊的函数,定义在正整数集或其有限子集.当自变量按照正整数从小到大依次取值时,对应的一列函数值为,对应的通项公式为.由此可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征.克莱因曾说:“函数是数学的灵魂.”函数思想是数学思想的重要组成之一,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略.数列一直以来都是高考的重点内容,而数列与函数的综合应用是高考命题的重点和热点.因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数相关知识,通过其概念、图象和性质,将数列与函数联系起来,探究它们间的内在联系,从而有效的简化数列问题,最终解决问题.以函数的概念、图象、性质为工具,揭示函数思想在数列问题中的应用技巧. 数列的函数特征 数列的周期性 数列中的最值问题 . . 类型一数列的周期性 数列{xn}满足存在正整数M,T,使得对任意大于M的自然数n,都有xn+T=xn成立,则称数列{xn}为周期数列,称T为它的一个周期. 周期数列往往以递推式的形式给出,因此常常用递推数列的知识研究数列的周期性. 【例1】若,则该数列的前2012项的乘积 A.3 B. C.2 D.1 【变式1-1】在数列中,若存在非零整数,使得对于任意的均成立,那么称数列为周期数列,其中叫数列的周期.若数列满足且,且,,当数列的正周期最小时,该数列的前2012项的和是 A.1344 B.2684 C.1342 D.2688 【变式1-2】若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立则称数列为周期数列,周期为,已知数列满足,则,有下列结论: ①若,则可以取3个不同的值; ②若,则数列是周期为3的数列; ③对任意的且,存在,使得是周期为的数列; ④存在且,使得数列是周期数列. 其中正确的结论有 ①②③ . 类型二 数列的单调性 【例2】已知数列的前项和为,且 (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)若数列满足,且是递减数列,求实数的取值范围. 【变式2-1】已知数列是等比数列,且满足,是数列的前项和,且,,. (1)求,的通项公式; (2)设,是数列的前项和.若对任意的正整数,恒成立,求实数的取值范围. 【变式2-2】已知数列的前项和为,且满足. (1)求的通项公式; (2)设数列的前项和为,且,若不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围. 【变式2-3】已知数列满足,前项和满足 (1)求的通项公式; (2)求的通项公式; (3)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围 类型三 数列中的最值问题 数列中的最值问题一般涉及到求数列{an}项的最值,前n项和Sn的最值及序号n的最值.求解数列最值的常用方法有: (1)等差数列an是关于n的一次函数,当d=0时,Sn=na1为一次函数;当d≠0时,Sn=n2+n是二次函数,用二次函数最值问题的求解方法求Sn的最值问题; (2)当a1>0,d<0时,有an≥0成立的最大自然数时的n使得Sn最大;当a1<0,d>0时,有an≤0成立的最大自然数时的n使得Sn最小; (3)先用比较法证明数列{an}的单调性,然后利用单调性求{an}的最值; (4)构造函数,利用基本不等式求最值. 【例3】数列的首项为1,且满足, (1)求、的值; (2)若为单调递增数列,求的通项; (3)设,为数列的前项和,求的最小值. 【变式3-1】已知数列满足,是的前项之和,且. (1)求数列的通项公式; (2)求函数的最大值及此时的值. 【变式3-2】已知数列是首项,公差为2的等差数列,数列满足; (1)若、、成等比数列,求数列的通项公式; (2)若对任意都有成立,求实数的取值范围; (3)数列满足,其中,,当时,求的最小值. 【变式3-3】已知等差数列中,,,数列的前项和为,且. (1)求,; (2)若,求数列的前项和; (3)当时,求的最小值和最大值. 1.已知数列的首项,前项和为,且. (Ⅰ)试判断数列是否成等比数列?并求出数列的通项公式; (Ⅱ)记为数列的前项和,求的最小值. 2.设数列满足,,设. (1)求证:是等比数列; (2)设的前项和,求的最小值. 3.已知数列的前项和满足,为常数,, (1)求的通项公式; (2)设,若数列为等比数列,求的值; (3)在满足条件(2)的情形下,,若数列的前项和为,且对任意的满足,求实数的取值范围. 4.已知数列的各项均为正数,其前项和为,且与1的等差中项等于与1的等比中项