微专题2 解三角形的应用-2022届高三数学三轮靶向复习专题（新高考版）

微专题2 解三角形的应用题 解三角形 与边长比值有关的问题 可转化为三角函数解决的问题 三角函数为背景的应用题 目 录 类型一 与边长比值有关的问题 1 类型二 可转化为三角函数解决的问题 4 类型三 三角函数为背景的应用题 7 类型四 解三角形为背景的应用题 11 三角函数与解三角形是高考六大主题模块知识中必考内容,特别是新高考对该部分的考查明显加强,且在命题上逐年创新,以几何图形为载体的三角函数、解三角形应用题将成为新高考命题的热点. 类型一 与边长比值有关的问题 【例1】若锐角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长度之比为,则的取值范围是 A. B., C., D., 【变式1-1】在中,角、、所对的边分别为、、,且边上的高为,则的最大值是 A.8 B.4 C. D.6 【变式1-2】已知中,角、、所对的边分别为,,,且边上的高为,则的最大值为 A. B. C.2 D.4 【变式1-3】已知的内角,,的对边分别为,,,,则的取值范围为 A. B. C. D. 类型二 可转化为三角函数解决的问题 【例2】已知,在这两个实数,之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那么这个等差数列后三项和的最大值为 A. B. C. D. 【变式2-1】已知是锐角的外接圆圆心,,若,则的值为 A.1 B. C. D. 【变式2-2】已知两实数,满足,若在,之间插入四个实数,使这六个实数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为 . 【变式2-3】已知实数,满足,则的取值范围是 , . 类型三 三角函数为背景的应用题 【例3】某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.图中的为矩形,弧为一段圆弧,其尺寸如图所示,则截面(图中阴影部分)的面积为 A. B. C. D. 【变式3-1】某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与直线的切点,是圆弧与直线的切点,四边形为矩形,,垂足为,,,,,到直线和的距离均为,圆孔半径为,则图中阴影部分的面积为 . 【变式3-2】某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,为圆弧所在圆的圆心,点是圆弧与直线的切点,点是圆弧与直线的切点,点是圆弧与直线的切点,点是圆弧与直线的切点,,,,圆孔的半径为,则图中阴影部分的面积为 . 【变式3-3】某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图(单位:所示,四边形为矩形,,,均与圆相切,、为切点,零件的截面段为圆的一段弧,已知,则该零件的截面的周长为 .(结果保留 【变式3-4】《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述,比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深1寸,锯道长1尺,问这块圆柱形木料的直径是多少?长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦尺,弓形高寸,估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为 (注:一丈尺寸,, A.300立方寸 B.305.6立方寸 C.310立方寸 D.316.6立方寸 类型四 解三角形为背景的应用题 以几何图形为载体的三角函数、解三角形应用题通常与圆、扇形等图形相结合,解决此类问题的关键是把各个线段表示出来,进而列出函数的解析式;与最值(范围)有关的问题,常常涉及表面积与体积,解题关键就是通过引入参数,然后运用导数进行求解. 【例4】某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,为地面,,为路灯灯杆,,,在处安装路灯,且路灯的照明张角.已知,. (1)当,重合时,求路灯在路面的照明宽度; (2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值. 【变式4-1】福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛,是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方,直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌,68小镇管理处在水泥路边安装路灯,路灯的设计如图所示,为地面,、为路灯灯杆,,,在处安装路灯,路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩的照明张角,已知,,. (1)若,求此路灯在路面上的照明宽度; (2)为了控制的路灯照明效果,令,求此路灯在路面上的照明宽度的取值范围. 【变式4-2】.方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用,图1为某方舱医院的平面设计图,其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得,图2中所示多边形,整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米,两根竖轴米,记整个方舱医院的外围隔离线(图2实线部分,轴和边框的粗细忽略不计)总长度为,与、的交点为、,与、的交点为、,. (