专题22 错位相减法求和易错点专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题22 错位相减法求和易错点专练（解析版） 一、单选题 1．若函数，则称f（x）为数列的“伴生函数”，已知数列的“伴生函数”为，，则数列的前n项和（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知可得数列为等比数列，其首项为，公比也为2，从而可求得，则，从而可表示出，令，利用错位相减法可求出，从而可求得结果 【详解】 依题意，可得，所以，即， 故数列为等比数列，其首项为，公比也为2， 所以， 所以，所以， 所以. 令， 则， 两式相减，得， 所以， 所以. 故选：C. 2．对于公差为1的等差数列，；公比为2的等比数列，，则下列说法不正确的是（       ） A． B． C．数列为等差数列 D．数列的前项和为 【答案】B 【分析】 由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出，即判定选项B错误；利用对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确. 【详解】 对于A: 由条件可得，， 即选项A正确； 对于B：由条件可得，， 即选项B错误； 对于C：因为，所以， 则， 即数列是首项和公差均为的等差数列， 即选项C正确； 对于D：，设数列的前项和为， 则， ， 上面两式相减可得， 所以， 即选项D正确. 故选：B. 3．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（       ） A．4097 B．4107 C．5119 D．5129 【答案】B 【分析】 根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和． 【详解】 由题意时，，，在上奇数共有个， ，， ， 设，则， 相减得：， 所以， 所以． 故选：B． 4．“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件． 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（       ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】 先依次求出各层货物总价，再利用裂项抵消法进行求解. 【详解】 由题意，得第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元， 第三层货物总价为万元，，第层货物总价为万元. 设这堆货物总价为万元， 则 ， 两式相减，得， 即， 则， 令， 得. 故选：B. 5．如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线(又称为雁柱曲线)方程为y＝1.1x，第n(n∈N，第0根弦表示与y轴重合的弦)根弦分别与雁柱曲线和直线l：y＝x＋1交于点An(xn，yn)和Bn(x'n，y'n)，则（        ） 参考数据：1.122＝8.14 A．814 B．900 C．914 D．1000 【答案】C 【分析】 由题得，再利用错位相减法求解. 【详解】 由条件可得， ∴， 得 ， ∵， ∴． 故选：C 6．数列{n·2n}的前n项和等于（       ） A．n·2n－2n＋2 B．n·2n＋1－2n＋1＋2 C．n·2n＋1－2n D．n·2n＋1－2n＋1 【答案】B 【分析】 错位相减法求解即可. 【详解】 ∵Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.② 由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n) ＝n×2n＋1－＝n×2n＋1－2n＋1＋2. 故选:B. 7．Sn＝＋＋＋…＋等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用错位相减法求解即可. 【详解】 由Sn＝＋＋＋…＋，① 得Sn＝＋＋…＋＋，② ①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝－， ∴Sn＝. 故选：B. 8．记数列中不超过正整数n的项的个数为，设数列的前n项的和为，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先由定义判断出当时，，再变形得到， 再按照错位相减法求和，即可求解 【详解】 ， 当时，， 所以 ， 记，， 两式相减得， 化简得， 所以． 故选：B. 9．已知数列满足，且数列的前n项和若，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B