专题17 等差数列及其通项公式重难点专练-【提优精练】2021-2022学年上海高二数学重难点综合专练（沪教版2020选择性必修一册）

专题17 等差数列及其通项公式重难点专练（解析版） 一、单选题 1．（2022·上海市控江中学高二期末）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（       ）． ①          ②          ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据等差数列的定义判断． 【详解】 设的公差为， 则，是等差数列， ，是常数列，也是等差数列， 若，则不是等差数列， 故选：C． 2．（2020·上海·上外附中高二期末）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（       ） A．是等差数列 B．或是等差数列 C．和都是等差数列 D．和都是等差数列，且公差相同 【答案】D 【分析】 根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案. 【详解】 根据题意：，为等差数列， 故为定值，故为定值. 则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立. 故选：. 【点睛】 本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 3．（2020·上海市建平中学高二期中）已知圆的半径5，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，且公差，则的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 求出过点P的n条弦的最短弦长和最长弦长，求出公差，结合范围可得结果. 【详解】 圆O的半径5，，过点P的n条弦的最短弦长， 最长弦长为直径10． 则过点P的n条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为， ∴，解得，解得：， 则n的取值集合为， 故选：A. 【点睛】 方法点睛：直线与圆相交涉及到弦长问题，主要通过弦长的一半，半径以及圆心到直线的距离构成直角三角形. 4．（2021·上海市第三女子中学高三期中）已知数列的前项和为，且对任意正整数都有，则下列关于的论断中正确的是（       ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．可能是等差数列，但不会是等比数列 D．可能是等比数列，但不会是等差数列 【答案】C 【分析】 根据得，分类讨论当和两种情况分析得数列可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】 ， ， ， 若，则数列为等差数列； 若，则数列为首项为，公比为4的等比数列，， 此时（），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列. 综上，数列可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C 【点睛】 关键点点睛：数列中含有和的式子一般需要转化，转化后可利用等差数列和等比数列的定义，此类问题注意验证时是否满足递推式，属于中档题． 5．（2021·上海市七宝中学高三期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（       ） A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 【答案】C 【分析】 先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果. 【详解】 由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）； 同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）. 故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确； 春分的晷长为，， 秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确； 小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误； 立春的晷长，立秋的晷长分别为，， ，，， 故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点. 6．（2021·上海闵行·高一期末）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的是（       ）． A．若数列的前项和（，，为常数）则数列为等差数列； B．若数列的前项和       ，则数列为等差数列： C．数列是等差数列，为前项和，则，，，…仍为等差数列； D．数列是等比数列，为前项和，则，，，…仍为等比数列． 【答案】C 【分析】 由得，进而可判断A和B；由等差数列的性质判断C；举反例判断D. 【详解】 对于选项A：因为，，当时，，所以，所以只有当时，数列成等差数列，故A错误； 对于选项B：因为，，当时，，所以，则数列成 等比数列，故B错误； 对于选项C：