8 微专题：平面向量基本定理的应用 讲义-2021-2022学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】 微专题：平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理: 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 平面向量基本定理的实质及解题思路： （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算； （2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决； 【典例】 例1、下面几种说法中，正确的是 （填序号） ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②零向量不可以作为基底中的向量； ③ ()可以表示平面内的所有向量； ④若是平面内不共线的两个向量，则与可作为表示平面内所有向量的一组基底； ⑤是平面内不共线的两个向量，若，则； ⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的； ⑦若是平面α内不共线的两个向量，则对于平面内的任意向量，使成立的实数对有无穷多个； 【提示】； 【答案】； 【解析】 【说明】 例2、向量，，在正方形网格中的位置如图所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. 【说明】本题考查了依据平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的实质及应用思路： 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决； 例3、已知在中，点满足，点在线段(不含端点，)上移动， （1）若，则__________； （2）若，则 的 取值范围为__________； （3）若，则的最小值为__________； 【说明】本题考查了平面向量的线性运算、平面向量基本定理的应用和代数求值、求最值的交汇；依次为：利用平面向量基本定理找关系，依据比例求值；等价为一元二次函数，在给定区间上求最值；利用基本不等式的求最值； 【归纳】 应用平面向量基本定理表示向量的实质 是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的； 应用平面向量基本定理的关键点