2022年中考高分冲刺压轴题专题特训-特殊平行四边形

2022中考高分冲刺压轴题专题特训 1．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a， ∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形， ∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG， ∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a， ∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG， ∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a， ∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　） A．14 B．15 C．8 D．6 【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J． ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180° ∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴＝＝＝，∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10，∵EC：CH＝1：2，∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ∥AB，∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB＝CQ＝10，∵AC2+BC2＝AB2，∴5a2＝100， ∴a＝2（负根已经舍弃），∴AC＝2，BC＝4，∵•AC•BC＝•AB•CJ， ∴CJ＝＝4，∵JR＝AF＝AB＝10，∴CR＝CJ+JR＝14，故选：A． 3．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　） A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x， ∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x， ∴BC2＝BG2+CG2＝＝， ∴＝．故选：B． 4．【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB， ∴，∴AC2＝AD•AB． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴， ∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝． （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝x+12