回归教材重难点05 函数与导数-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

回归教材重难点05 函数与导数 函数与导数解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度较大. 函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： (1)含参函数的单调性、极值与最值； (2)函数的零点问题； (3)不等式恒成立与存在性问题； (4)函数不等式的证明. (5)导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点. 1.含参数函数单调性讨论 （1）导函数为含参一次型的函数单调性 导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间. （2）导函数为含参二次型函数的单调性 当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况： ①若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； ②若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性. （3）导函数为含参二阶求导型的函数单调性 当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器. 在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的. ①二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性； ②通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性. 2.双变量问题 破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 3.证明不等式 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友 （5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 4.极最值问题 利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作． 5.零点问题 函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围. 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数. 6.不等式恒成立问题 （1）利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． （2）利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： ①，； ②，； ③，； ④，. （3）不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. ①若，，有成立，则； ②若，，有成立，则； ③若，，有成立，则； ④若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 7.函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： （1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标