第5章 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦复数的乘法与除法运算及乘法几何意义，从实数运算律引入复数运算律探究，通过问题驱动、分点讲解（法则、运算律、几何意义等）及题型示例构建学习支架。 以问题链引导数学抽象，结合向量旋转伸缩阐释几何意义培养直观想象，通过例题与跟踪训练提升数学运算能力。课中辅助教师授课，课后练习题助学生查漏补缺，强化知识应用。

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 2.2复数的乘法与除法 *2.3复数乘法几何意义初探 【基础落实】 知识点一 1.(ac-bd)+(ad+bc)i3.2·a1a·(2·3)a1·2十a·34.(1)c(2)逆罗 想一想 1.提示：不-定.如z·元=（a十bi)(a-bi)=a2+b2是实数. 2.提示：0Z2是由0Z1顺时针旋转受得到的. 知识点二 actbd ad-be c3+d2 citd?i 自我诊断 1.(1)√(2)√(3)×(4)√ 2.D原式=(12+2i+i2)(2+3i)=2i(2+3i)=4i-6. 3.5解桥：1z=-||=1计21-5. 【典例研析】 【例1】解：(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i. (2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2 =9-(-16)=25. (3)(1+i)2=1+2i+i2=2i. 跟踪训练 1.D (1-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-92)=-13-2i. 2.B因为z=(1一i)(a+i)=a+1+(1一a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1一 a+1<0, a)，又此点在第二象限，所以{1-a>0,解得a<-1. 【例2】解：(1) (1+2)(1+2i) -+=-是+侍1. (2)原式= []6+i+ 2 5+2 1/4 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 =ió+6+2+36 =-1+i. 跟踪训练 1.A由提=i得1+2=i(1-),即2=# 4=-“=i,1zl=1 =T 2 7H)(34i】 2.解： 1)瑞 =3+41)(34i) 2525=1-i. 25 (2) 1+(2+)=3+=上3)4=-1-3i. -11 【例3】(1)A(2)i解析：(1)因为i07=4×151+3=i3=一i,所以其共轭复数为i.故选 A. (2)因为i1+i2+3+4=0,所以i1+2+i3+..+i2024+2025=(i1+i2+3+i4)+(i泸+6+i7+ 8)+..+(2021+i2022+i2023+i2024)+i2025=i. 跟踪训练 解费--= ∴计=}=-i,而=(-i)4=1, “(3告)2024+(0)2025=024+(-iD20脑=2024+（-iD22×（-iD=-1-i 【例4】解：(1).1+i是方程x2+bx+c=0的根， ∴.(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0. （b+C=0,Ib=-2 ·2+b=0,解得{c=2 ∴.b=-2,c=2. (2)将方程化为x2一2x+2=0,把1一i代入方程左边x2一2x+2=(1一i)2-2(1一i)+2=0, 显然方程成立， ∴.1一i也是方程的一个根. 跟踪训练 解：由题意，得△=2-4(2-2k)=-32+8k<0→k<0或k>号， 设两根为31,22，则22=Z1,|22|=|a1|=1, 所以由实系数一元二次方程根与系数的关系，可得1·22=2一2k=1, 解得=1-2，=1+V2, 又k<0或k>号，所以k=1-2 2/4 独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 随堂检测 12m+3=5, 1.A由(m+iD(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i,得{2-3m=-1,解得m=1. 2A医秀=放=品-学=机所以z-机印：-=1成装水 3.B依题意，2=i+2×(-1)+3(-i)+4=2-2i,所以|z|=V22+(-22=22.故选B. 4.B设z=a十bi(a,b∈R),则z十2=(a十2)+bi,2十2i=a十(2-b)i,因为复数z十2与2 +2i对应的点关于y轴对称，所以a十2十a=0且b=2-b,解得a=一1，b=1,则z=一1+i,= 年=下H品可=学=--i,故选B. -1-i 5.2或-2解析：由：(1+iD=2i(1∈R),得g=年=尚=i(1-i)=1什，因为1： 2i(1-i】 =2V2,所以+2=(2V2)2,解得t=2或t=-2. 拓视野欧拉公式及其应用 【例1】一号-一9i解：析欧拉公式er=cosx十-isin(x∈R),，则g—e穿-es要+isin要 一号+号1根能共部复数定义可知z=一号-号 【例2】解：复e+e=cos晋+isin晋+cos晋十sin骨=史+i, 2 所以复数ei+ei的模为√( 型P+呼尸- 2 迁移应用 1.D .'z=ei=cos 0+isin 0,.(+1)(2-i)=(cos 0+1+isin 0)(cos 0-isin 0-i)= cos20-isin Ocos 0-icos 0+cos 0-isin 0-i+isin Ocos 0+sin20+sin 0=(cos 0+sin 0+1)-i (cos 0 +sin0+1), .f(z)=|(z+1)(2-i)1, ∴f(z)=Y(cos0+sin0+12+[-(cos8+s血m0+12 =2 (cos0+sin0+1)2 =V2[V2sm(0+)+1], 当sim(0+军)=1时，f(z)取得最大值， 即当0十平=受十2km,k∈Z,即0=+2km,k∈Z时，f(z)取最大值， 3/4 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 时=号+号2号-号 又A(一1,0)，B(0,1), 1241=(号+1)+(-号-0)-2+反， 1zs1:=(9-0)°+(-号-1)-2+反， 又|AB12=(-1-0)2+(0-1)2=2, ∴.|Z4|=|ZB|,且|Z412+IZB|2≠|AB|2, ∴.该图形为等腰三角形.故选D 2.解：(1)复数ei在复平面内对应的点位于第二象限. 理由如下： ,e3i=cos3十isin3在复平面内对应的点为(cos3,sin3), 而罗<3<元，cos3<0,sin3>0,∴.点(cos3,sin3)在第二象限，故复数e3i在复平面内对应的 点位于第二象限， (2).eir=cosx十isin x<0,∴.eir为负实数（虚数无法比较大小）， cosx<0, sinx=0, ,解得cosx=一1. cos2x sin2x =1, 4/4 ·独家授权侵权必究· 2.2　复数的乘法与除法　*2.3　复数乘法几何意义初探 课标要求 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学抽象）. 3.了解复数乘法的几何意义（直观想象）. 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足am·an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝an·bn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　复数的乘法运算及乘法的几何意义 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝　　　　　　　　. 特例：若z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝｜z｜2＝｜｜2＝a2＋b2. 2.幂的运算 设复数z，z1，z2和正整数m，n，则zm·zn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1·z2）n＝·. 一般地，n∈N，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 3.复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝　 　　　　　　　 　 结合律 （z1·z2）·z3＝　　　　　　 乘法对加法的分配律 z1·（z2＋z3）＝　　　　　　 4.复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为. （1）若z2＝（a＋bi）·c（c＞0）所对应的向量为，则是将沿原方向伸长（c＞1）或压缩（0＜c＜1）　　　倍得到的； （2）z3＝（a＋bi）·i所对应的向量为，则是将　　　时针旋转　　　　得到的. 【想一想】 1.两个虚数的积一定是虚数吗？ 2.设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为，若z2＝（a＋bi）（－i）对应的向量是，那么向量与有何关系？ 知识点二　复数的除法运算 复数的除法法则 ＝　　　　　　　　　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）. 知识点三　实系数一元二次方程的解法 1.方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R）在复数范围内的解集 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R），则当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－； 当Δ＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1＝，x2＝. 2.根与系数的关系 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，那么 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个共轭复数的和与积是实数.（　　） （2）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在第四象限.（　　） （3）若z1，z2∈C，且＋＝0，则z1＝z2＝0.（　　） （4）（zn）m＝zmn.（　　） 2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 3.已知复数z＝（i是虚数单位），则｜z｜＝　　　　. 题型一｜复数的乘法运算 【例1】　计算： （1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）； （2）（3＋4i）（3－4i）； （3）（1＋i）2. 尝试解答 通性通法 　　复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 【跟踪训练】 1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A.2－13i B.13＋2i C.13－13i D.－13－2i 2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（－∞，－1） C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞） 题型二｜复数除法的运算 【例2】　计算：（1）； （2）＋. 尝试解答 通性通法 1.复数的除法法则 通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似. 2.复数四则运算的常用技法 （1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，再算加减； （2）三个或三个以上的复数相乘时可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数运算顺序一致； （3）若运算式符合公式可直接运用公式计算. 【跟踪训练】 　　 1.设复数z满足＝i，则｜z｜＝（　　） A.1 B. C. D.2 2.计算：（1）； （2）. 题型三｜i的乘方的周期性及应用 【例3】　（1）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　） A.i B.－i C.1 D.－1 （2）计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝　　　　. 尝试解答 通性通法 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 【跟踪训练】 　计算：＋. 题型四｜实系数一元二次方程根的求解 【例4】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根（b，c为实数）. （1）求b，c的值； （2）试判断1－i是否是方程的根. 尝试解答 通性通法 　　复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判断 （1）当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根； （2）当Δ＝0时，方程有两个相同的实数根； （3）当Δ＜0时，方程有两个共轭的虚数根. 【跟踪训练】 　已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值. 　　 1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m的值为（　　） A.1　　　 B.－1　　 C.2　　 D.－2 2.已知z＝，则z－ 等于（　　） A.－i B.i C.0 D.1 3.已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　） A.2 B.2 C.4 D.10 4.设是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，则＝（　　） A.－1＋i B.－－ C.－ D.－＋ 5.已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t的值为　　　　. 　　 　　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【问题探究】 【例1】　若复数z＝的共轭复数为，则＝　　　　. 尝试解答 【例2】　求复数＋的模. 尝试解答 【迁移应用】 1.复数z＝eiθ（θ∈R），z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A（－1，0）与B（0，1）为定点，则函数f（z）＝｜（z＋1）（－i）｜取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是（　　） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 2.根据欧拉公式：eix＝cos x＋isin x（e为自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R）. （1）判断复数e3i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； （2）若eix＜0，求cos x的值. 提示：完成课后作业　第五章　§2　2.2　*2.3 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $