第15讲 全等三角形的九种模型（核心考点讲与练）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版）

第15讲全等三角形的七种模型（核心考点讲与练） 题型一：一线三等角构造全等模型 一．解答题（共2小题） 1．（2017秋•浦东新区期中）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE． 2．（2013秋•上海期中）如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，BC＝DE，AB＝CD．求证：AC⊥CE． 题型二：手拉手模型—旋转型全等 一．填空题（共1小题） 1．（2021秋•宝山区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为 　 　． 二．解答题（共2小题） 2．（2021秋•太康县期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，联接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度． （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由． ②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论． 3．（2021春•浦东新区月考）（1）问题发现 如图1，已知△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数． （2）拓展探究 如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE； 求：①∠AEB的度数； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． 题型三：倍长中线模型 一．选择题（共2小题） 1．（2020秋•饶平县校级期末）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5 2．（2006秋•闵行区期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 二．填空题（共1小题） 3．（2018秋•嘉定区期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　 　． 题型四：平行线＋线段中的构造全等模型 一．解答题（共2小题） 1．（2017春•松江区期末）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC． 求证：（1）DE平分∠ADC； （2）AD+BC＝DC． 2．（2015春•普陀区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）联结EG，试说明EG与DF垂直的理由． 题型五：角平分线+垂直全等模型 一．解答题（共1小题） 1．（2018秋•招远市期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论． 题型六：正方形中的半角模型 一．解答题（共1小题） 1．（2009•宝山区二模）小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，则EG＝FH“ 经过思考，大家给出了以下两个方案： （甲）过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N； （乙）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N； 小杰和他的同学顺利的解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索． … （1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）； （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设AB＝2，BC＝3（如图2），试探究EG、FH之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； （3）如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为（如图3），试求EG的长度． 题型七：等腰三角形中的半角模型 一．解答题（共3小题） 1．（2021春•嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，