6.3.1 平面向量基本定理（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 课标要求 素养要求 理解平面向量基本定理及其意义.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用，重点提升数学抽象及直观想象素养. 自主梳理 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×) (2)零向量可以作为基底.(×) (3)若a，b不共线，则{a＋b，a－b}可以作为基底.(√) (4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(√) 提示　(1)基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. (2)由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2 答案　B 解析　∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴两向量共线不可作为基底. 3.在△ABC中，若＝(＋)，则下列关系式正确的是(　　) A.BD＝2CD B.BD＝CD C.BD＝3CD D.CD＝2BD 答案　B 解析　由＝(＋)，得2＝＋. 则－＝－，即＝，所以||＝||， 故BD＝CD. 4.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________. 答案　4e1＋3e2 解析　由图示知，＝3e2，＝4e1，∴＝4e1＋3e2 . 题型一　平面向量基本定理的理解 【例1】　如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量. 解　(1)正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0. (2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定. (3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立. (4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定. 思维升华　1.向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上，若{e1，e2}是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线.若共线，则不能作为基底，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底. 2.一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 【训练1】　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 答案　B 解析　①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线.由平面内向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意. 题型二　用基底表示向量 【例2】　已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到点C，使BA＝AC，连接OC，DC.设＝a，＝b. (1) 用a，b表示，； (2)若与＋k共线，求k的值. 解　(1)由题意知A为BC的中点， ∴＝(＋)， ∴＝2－＝2a－b， ＝－＝－＝2a－b. (2)由(1)得＋k＝(2k＋1)a－kb， ∵与＋k共线，设＝λ(＋k)， 则2a－b＝λ(2k＋1)a－λkb， ∴解得k＝. 思维升华　平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一组基底表示，进而建立起了向量之间的联系. (2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则. (3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行四边形法则快速找到表示法. 【训练2】　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，. 解　法一　由题意知， ＝＝＝a，