1 6.3.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理，通过音乐基本音符类比向量“基本音符”导入，建立生活与数学的联系，引导学生从已有经验过渡到理解基底概念及定理内容，搭建知识学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（音乐类比激发兴趣），通过知识梳理、即时练（如基底判断、取值范围计算）培养数学思维（推理与运算），用网格图跟踪训练强化数学语言表达。帮助学生发展抽象能力与几何直观，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 1 新课导入 学习目标 音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si，不管是流行歌曲的通俗，摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，其乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． 3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 返回导航 新知学习探究 1 课堂巩固自测 2 内 容 索 引 新知学习探究 PART 01 第一部分 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． 返回导航 [知识梳理] 条件 e1，e2是同一平面内的两个______向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使____________ 基底 若e1，e2不共线，把________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线 a＝λ1e1＋λ2e2 {e1，e2} 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)基底中的向量不能为零向量．(　　) (2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示.(　　) √ × √ √ 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 3．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为____________________． 解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞). (－∞，4)∪(4，＋∞) 返回导航 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 返回导航 √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示；二是通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，以{a，b}为基底，则c可表示为(　　) A．－2a＋3b B．－3a＋2b C．3a－2b D．2a－3b √ 返回导航 返回导航 2 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求证：M，N，C三点共线． 返回导航 (1)选择基底的原则一是不共线；二是已知模和夹角，以方便表示出相关向量后运算证明． (2)利用向量共线可以证明线段平行，向量数量积为0可以证明线段垂直，利用模的运算可以证明线段相等等关系问题． 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 PART 02 第二部分 解析：易知向量m＝a－b与向量0，b－a，2a－2b平行，不能构成平面内的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知a－b与a＋b不共线，所以a＋b与m＝a－b可构成平面内的一个基底． √ 返回导航 √ 返回导航 3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝__________． 9 返回导航 返回导航 返回导航 1．已学习：平面向量基本定理及其应用． 2．须贯通：平面内的向量借助几何直观(或性质)均可用基底唯一表示，实质是利用三角形法则、平行四边形法则进行线性运算，同时也体现了化归与转化、数形结合的思想． 3．应注意：基底中的向量必须是不共线的两个向量． 返回导航 eq \a\vs4\al(一　平面向量基本定理) 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 2．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．{ eq \o(AD,\s\up16(→))， eq \o(AB,\s\up16(→))} B．{ eq \o(DA,\s\up16(→))， eq \o(BC,\s\up16(→))} C．{ eq \o(CA,\s\up16(→))， eq \o(DC,\s\up16(→))} D．{ eq \o(OD,\s\up16(→))， eq \o(OB,\s\up16(→))} 解析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于A， eq \o(AD,\s\up16(→))与 eq \o(AB,\s\up16(→))不共线，可以作为基底； 对于B， eq \o(DA,\s\up16(→))与 eq \o(BC,\s\up16(→))为共线向量，不可以作为基底； 对于C， eq \o(CA,\s\up16(→))与 eq \o(DC,\s\up16(→))不共线，可以作为基底； 对于D， eq \o(OD,\s\up16(→))与 eq \o(OB,\s\up16(→))是共线向量，不可以作为基底． eq \a\vs4\al(二　用基底表示向量) [例1] (1)如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(BN,\s\up16(→))＝(　　) A．－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b B． eq \f(2,3)a－ eq \f(1,3)b C．－ eq \f(1,3)a＋ eq \f(2,3)b D． eq \f(1,3)a－ eq \f(2,3)b 【解析】　依题意在平行四边形ABCD中，AM∥CD，又M是AB的中点，则AM＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)CD，又DM与AC交于点N，所以△ANM∽△CND，则 eq \f(AN,CN)＝ eq \f(AM,CD)＝ eq \f(1,2)，所以 eq \o(AN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，所以 eq \o(BN,\s\up16(→))＝ eq \o(AN,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→)))－ eq \o(AB,\s\up16(→))＝－ eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b. (2)如图，在△OAB中， eq \o(OA,\s\up16(→))＝a， eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，BE∶EA＝1∶2，F是OA的中点，线段OE与BF交于点G，试用基底{a，b}表示 eq \o(OG,\s\up16(→))＝________． eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,2)b 【解析】　方法一：由点O，G，E共线，设 eq \o(OG,\s\up16(→))＝λ eq \o(OE,\s\up16(→))， 易得 eq \o(OG,\s\up16(→))＝λ( eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \o(BE,\s\up16(→)))＝λ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \f(λ,3) eq \o(BA,\s\up16(→))＝λ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \f(λ,3)( eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \o(OB,\s\up16(→)))＝ eq \f(λ,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2λ,3) eq \o(OB,\s\up16(→)). 由点B，G，F共线，设 eq \o(FG,\s\up16(→))＝μ eq \o(FB,\s\up16(→))， 所以 eq \o(OG,\s\up16(→))－ eq \o(OF,\s\up16(→))＝μ( eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OF,\s\up16(→)))， 即 eq \o(OG,\s\up16(→))＝μ eq \o(OB,\s\up16(→))＋(1－μ) eq \o(OF,\s\up16(→))＝μ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \f(1－μ,2) eq \o(OA,\s\up16(→)). 所以 eq \f(λ,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2λ,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＝μ eq \o(OB,\s\up16(→))＋ eq \f(1－μ,2) eq \o(OA,\s\up16(→))， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(λ,3)＝\f(1－μ,2)，,\f(2λ,3)＝μ，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2λ＋3μ－3＝0，,2λ－3μ＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,4)，,μ＝\f(1,2)，)) 所以 eq \o(OG,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,2)b. 方法二：如图，取AE的中点为M，连接FM，又因为F为OA的中点，所以FM∥OE，即GE∥FM.因为BE∶EA＝1∶2，所以BE＝EM，所以BG＝GF，所以 eq \o(OG,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(OF,\s\up16(→))＋ eq \o(OB,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up16(→))＋\o(OB,\s\up16(→))))＝ eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,2)b. 解析：如图， 以{i，j}为基底，则a＝i＋j，b＝－2i＋3j，c＝7i－3j，设c＝xa＋yb，即7i－3j＝(x－2y)i＋(x＋3y)j.因为i，j不共线，所以有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7＝x－2y，,－3＝x＋3y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2.)) (2)在四边形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→))＝t eq \o(DC,\s\up16(→))，且 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))＋μ eq \o(BD,\s\up16(→))，若λ－μ＝ eq \f(4,3)，则t＝________． 解析：如图，由 eq \o(AB,\s\up16(→))＝t eq \o(DC,\s\up16(→))可得AB∥DC且AB＝tDC， 易得△ABE∽△CDE， 则有 eq \o(AE,\s\up16(→))＝ eq \f(t,t＋1) eq \o(AC,\s\up16(→))， eq \o(BE,\s\up16(→))＝ eq \f(t,t＋1) eq \o(BD,\s\up16(→))， 于是 eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(AE,\s\up16(→))＋ eq \o(EB,\s\up16(→))＝ eq \f(t,t＋1) eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \f(t,t＋1) eq \o(BD,\s\up16(→))，又 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(AC,\s\up16(→))＋μ eq \o(BD,\s\up16(→))， 故得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(t,t＋1)，,μ＝－\f(t,t＋1)，)) 由λ－μ＝ eq \f(t,t＋1)＋ eq \f(t,t＋1)＝ eq \f(4,3)，解得t＝2. eq \a\vs4\al(三　平面向量基本定理的应用) [例2] (对接教材例2)如图所示，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，且3BN＝BD，记 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b. (1)以{a，b}为基底表示 eq \o(MN,\s\up16(→))； 【解】　 eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3)( eq \o(AD,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,3)(b－a)＝ eq \f(1,6)a＋ eq \f(1,3)b. 证明：连接MC(图略)， 因为 eq \o(MC,\s\up16(→))＝ eq \o(MB,\s\up16(→))＋ eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)a＋b， eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,6)a＋ eq \f(1,3)b， 所以 eq \o(MC,\s\up16(→))＝3 eq \o(MN,\s\up16(→))，所以 eq \o(MN,\s\up16(→))∥ eq \o(MC,\s\up16(→))，且 eq \o(MN,\s\up16(→))与 eq \o(MC,\s\up16(→))有公共点M，所以M，N，C三点共线． [跟踪训练2] 如图，若D是△ABC内的一点，且| eq \o(AB,\s\up16(→))|2－| eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝| eq \o(DB,\s\up16(→))|2－| eq \o(DC,\s\up16(→))|2，用向量的方法证明AD⊥BC. 证明：取BC的中点E，连接AE，DE， 因为| eq \o(AB,\s\up16(→))|2－| eq \o(AC,\s\up16(→))|2＝| eq \o(DB,\s\up16(→))|2－| eq \o(DC,\s\up16(→))|2， 所以( eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AC,\s\up16(→)))·( eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AC,\s\up16(→)))＝( eq \o(DB,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→)))·( eq \o(DB,\s\up16(→))－ eq \o(DC,\s\up16(→)))， 所以2 eq \o(AE,\s\up16(→))· eq \o(CB,\s\up16(→))＝2 eq \o(DE,\s\up16(→))· eq \o(CB,\s\up16(→))， 整理得 eq \o(CB,\s\up16(→))·( eq \o(AE,\s\up16(→))＋ eq \o(ED,\s\up16(→)))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))· eq \o(AD,\s\up16(→))＝0， 可得 eq \o(CB,\s\up16(→))⊥ eq \o(AD,\s\up16(→))，即AD⊥BC得证． 1．已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面内另一个基底的向量是(　　) A．0 B．b－a C．a＋b D．2a－2b 2．(教材P27T3改编)如图，在△ABC中， eq \o(BD,\s\up16(→))＝4 eq \o(DC,\s\up16(→))，则 eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A. eq \f(1,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(4,5) eq \o(AC,\s\up16(→)) B． eq \f(4,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up16(→)) C． eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(5,6) eq \o(AC,\s\up16(→)) D． eq \f(5,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(1,6) eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析： eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(4,5) eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(4,5)( eq \o(AC,\s\up16(→))－ eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ eq \f(1,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \f(4,5) eq \o(AC,\s\up16(→)). 解析：由(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，)) 所以2x－y＝9. 4．如图，在△ABC中，点D与点E分别在边BC和AC上，且BD＝ eq \f(1,3)BC，CE＝ eq \f(1,3)CA，AD和BE交于点R.求证：RD＝ eq \f(1,7)AD，RE＝ eq \f(4,7)BE. 证明：因为A，R，D三点共线， 所以存在实数λ，使 eq \o(RD,\s\up16(→))＝λ eq \o(AD,\s\up16(→))， 则 eq \o(AR,\s\up16(→))＝(1－λ) eq \o(AD,\s\up16(→))， 所以 eq \o(CR,\s\up16(→))＝ eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \o(AR,\s\up16(→))＝ eq \o(CA,\s\up16(→))＋(1－λ) eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \o(CA,\s\up16(→))＋(1－λ)( eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(CA,\s\up16(→))) ＝λ eq \o(CA,\s\up16(→))＋(1－λ) eq \o(CD,\s\up16(→))＝λ eq \o(CA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3)(1－λ) eq \o(CB,\s\up16(→)).① 又因为B，R，E三点共线， 所以存在实数μ，使 eq \o(RE,\s\up16(→))＝μ eq \o(BE,\s\up16(→))， 则 eq \o(BR,\s\up16(→))＝(1－μ) eq \o(BE,\s\up16(→))， 所以 eq \o(CR,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))＋ eq \o(BR,\s\up16(→))＝ eq \o(CB,\s\up16(→))＋(1－μ)( eq \o(CE,\s\up16(→))－ eq \o(CB,\s\up16(→)))＝(1－μ) eq \o(CE,\s\up16(→))＋μ eq \o(CB,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)(1－μ) eq \o(CA,\s\up16(→))＋μ eq \o(CB,\s\up16(→)).② 由①②得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)(1－μ)，,\f(2,3)(1－λ)＝μ，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,7)，,μ＝\f(4,7)．)) 所以RD＝ eq \f(1,7)AD，RE＝ eq \f(4,7)BE. $