6.2.4 向量的数量积（教师WORD）-2021-2022学年高一数学人教A版必修第二册【创新设计】同步学考笔记

6.2.4　向量的数量积 课标要求 素养要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.利用向量数量积的运算律、性质进行向量计算或证明. 1.通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念，进一步体验数学抽象及数学运算素养. 2.引入平面向量的投影及其运算律，体会直观想象及数学运算核心素养. 3.借助向量的数量积解决某些简单问题，培养学生的数学逻辑推理核心素养. 自主梳理 1.两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.　　　 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 3.投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos__θ__e. (1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0. (2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”.　　　 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos__θ； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). (5)cos θ＝. 5.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.(√) (2)a·0＝0.(×) (3)a·(b·c)＝(a·b)·c.(×) (4)·＋·＝·(＋)＝·.(√) 提示　(2)两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0. (3)三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c. 2.若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝(　　) A.－3 B.－6 C.6 D.2 答案　B 解析　a·b＝|a||b|cos 135°＝3×4×＝－6. 3.已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(　　) A.a＝b B.|a|＝|b| C.a⊥b D.a∥b 答案　B 解析　∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， ∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|. 4.已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________. 答案　 解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0， ∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角为θ， ∴cos θ＝＝＝－， 又θ∈[0，π]，∴θ＝. 题型一　平面向量的数量积 角度1　平面向量数量积的计算 【例1】　(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 (2)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1， ∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3. (2)∵E，F是菱形ABCD中，边BC，CD的中点. ∴＝＋，＝＝(－)， 又||＝||＝2，且〈，〉＝60°， ∴·＝·(－) ＝·＋||2－||2 ＝||·||·cos 60°＋×22－×22＝－. 思维升华　1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是