专题18.5 矩形的判定与性质（压轴题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题18.5 矩形的判定与性质 【典例1】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5． （1）若G，H分别是AB，DC中点，试说明：四边形EGFH为平行四边形； （2）在（1）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形． 【思路点拨】 （1）证明△AFG≌△CEH（SAS），得GF＝HE，同理GE＝HF，即可得出结论； （2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”得EF＝GH，再证四边形AGHD是平行四边形，得GH＝BC＝4，然后分两种情况分别求出t的值即可． 【解题过程】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠GAF＝∠HCE， ∵G、H分别是AB、DC的中点， ∴AG＝BG，CH＝DH， ∴AG＝CH， ∵AE＝CF， ∴AF＝CE， 在△AFG与△CEH中， ∴△AFG≌△CEH（SAS）， ∴GF＝HE， 同理：GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴AC5， 由（2）可知四边形EGFH是平行四边形， 连接GH， ∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点， ∴AG＝DH，AG∥DH， ∴四边形AGHD是平行四边形， ∴GH＝BC＝4， ∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况： ①如图1， AE＝CF＝t， 则EF＝5﹣2t＝4， 解得：t＝0.5； ②如图2， AE＝CF＝t， 则EF＝5﹣2（5﹣t）＝4， 解得：t＝4.5； 综上所述，当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形． 1．（2021•富平县二模）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【思路点拨】 由菱形的性质和勾股定理求出CD＝10，再证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【解题过程】 解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝6，OB＝ODBD＝8， ∴∠DOC＝90°，CD10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故选：C． 2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【思路点拨】 连接OE，由AC，BD互相平分得出四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质推出AC＝BD，则四边形ABCD是矩形，再由勾股定理即可得出结果． 【解题过程】 解：连接OE，如图所示： ∵2AB＝BC＝4， ∴AB＝2， ∵AC，BD互相平分， ∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形， ∵以AC为斜边作Rt△ACE， ∴OE＝OA＝OCAC， ∵BE⊥DE， ∴OE＝OB＝ODBD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°， ∴BD2， 故选：A． 3．（2020春•江津区期中）如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（　　） A． B．1 C． D． 【思路点拨】 过A作AF⊥BC于F，推出四边形AFCD是矩形，得到AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，根据勾股定理即可得到结论． 【解题过程】 解：过A作AF⊥BC于F， ∵∠D＝∠C＝90°， ∴四边形AFCD是矩形， ∴AF＝CD＝2，CF＝AD， 设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y， ∴AB＝x+y，BF＝y﹣x， ∵AB2＝AF2+BF2， ∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22， ∴xy＝1， ∴AE•BE＝1， 故选：B． 4．（2021•灞桥区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（　　） A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6 【思路点拨】 先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，设DP＝x，CP＝10﹣x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可． 在证得平行四边形后，连接MN，PE，∵M、N分别是PA、PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MNAB＝5，若四边形PMEN是矩形，则PE＝MN＝5，而当AD＝6时，PE不可能等于5 【解题