专题19.1 一次函数中的综合（压轴题专项讲练）-2021-2022学年八年级数学下册从重点到压轴（人教版）

专题19.1 一次函数中的综合 【典例1】已知一次函数的解析式为y＝﹣2x+5，图象过点A（2，a），B（b，﹣1）． （1）求a，b的值，并画出该一次函数的图象； （2）在y轴．上是否存在点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由； （3）点P为坐标轴上一点，若S△OBP＝S△AOB时，请直接写出点P的坐标． 【思路点拨】 （1）利用待定系数法即可求出a，b的值，利用描点法画出一次函数的图象即可； （2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为所求．求出直线BA′的解析式即可解决问题； （3）求出△AOB的面积，分点P为x轴上一点和点P为y轴上一点，根据S△OBP＝S△AOB，即可求得点P的坐标． 【解题过程】 解：（1）直线y＝﹣2x+5图象过点A（2，a），B（b，﹣1）， ∴a＝﹣2×2+5＝﹣4+5＝1，﹣1＝﹣2b+5， ∴b＝3 故a＝1，b＝3． 一次函数图象如图所示； （2）存在． 作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点C， ∵A（2，1）， ∴A'（﹣2，1）， 设直线B A'的表达式为y＝kx+b， 把A'（﹣2，1）和B（3，﹣1）代入得：， 解得：， ∴直线B A'的表达式为yx， ∴C点的坐标为（0，）； （3）设y＝﹣2x+5与x轴交于点D， y＝0时，﹣2x+5＝0，解得x， ∴D（，0）， ∴S△AOB＝S△AOD+S△DOB11， ①点P为x轴上一点时，设P（m，0）， ∵S△OBP＝S△AOB， ∴|m|×1，解得：m＝5或﹣5， ∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）； ②点P为y轴上一点时，设P（0，n）， ∵S△OBP＝S△AOB， ∴|n|×3，解得：m或， ∴点P的坐标为（0，）或（0，）； 综上，点P的坐标为 （5，0）或（﹣5，0）或（0，）或（0，）． 1．（2021秋•即墨区期中）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），在同一平面直角坐标系中，函数y1和y2的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【思路点拨】 根据一次函数的性质可依次作判断． 【解题过程】 解：A、由两图象都过第一二三象限可知：a＞0，b＞0，且x＝1时，y1＝y2＝a+b，两结论不矛盾，故符合题意； B、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，不符合题意； C、如果与y轴交点在上面的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，不符合题意； D、如果过第二三四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论相矛盾，不符合题意． 故选：A． 2．（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　） A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D． 【思路点拨】 根据题意得出a＞0，b≥0，即可推出得，从而求得s的取值范围． 【解题过程】 解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限， ∴a＞0，b≥0， 将（2，3）代入直线y＝ax+b， 3＝2a+b， b＝3﹣2a ∴， 解得， s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6， a＝0时，s＝﹣6， a，s， 故﹣6＜s． 故选：C． 3．（2021春•巴南区月考）一次函数y＝（a﹣7）x+a的图象不经过第三象限；且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的和为（　　） A．18 B．17 C．12 D．11 【思路点拨】 首先根据一次函数的图象不经过第三象限，列不等式组，求出不等式的解集，解分式方程，根据分式方程有整数解，求出a，进而得整数a的和． 【解题过程】 解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴0≤a＜7， 原分式方程可化为：3， 2＝3（2﹣x）+ax， 解得x，3﹣a≠2， ∵分式方程有整数解， ∴3﹣a＝﹣2或3﹣a＝1或3﹣a＝﹣1或3﹣a＝﹣4或3﹣a＝4或3﹣a＝2， 解得a＝5或a＝2或a＝4或a＝7或a＝﹣1或a＝1， ∵a＝7或a＝﹣1或a＝1不合题意， ∴舍去， ∴a＝5或a＝2或a＝4， ∴整数a的和为：11； 故选：D． 4．（2021春•中原区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCO的一边CO在x轴上，A，B在第二象限，C在A左侧，∠AOC＝60°，AC＝5，AO＝2，直线ED的解析式为y＝﹣x+5，现将平行四边形沿x轴向右平移，当直线ED恰好平分平行四边形ABCO的面积时，此时的平移距离为（　　） A． B．4+2 C．8 D．5 【思路点拨】 作A