18.2 特殊的平行四边形-菱形提升训练 讲义-2024-2025学年人教版八年级下册

特殊的平行四边形-菱形 知识点1 菱形的定义 1. 有一组邻边 的平行四边形叫做菱形,菱形是特殊的平行四边形. 注意: 菱形必须具备的两个条件: (1)是平行四边形; (2)有一组邻边相等. 二者缺一不可. 2. 数学语言描述:如图,在 ABCD中,若AB=AD,则 ABCD是菱形. 知识点2 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边_ AB∥CD,AD∥BC 四条边都_ AB=BC=CD=DA 角 对角_ ∠ABC=∠ADC, ∠BCD=∠DAB 对角线 对角线_ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 每一条对角线平分一组对角 ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA,∠ABD=∠ABD=∠ADB=∠CDB 对称 性 轴对称图形,对称轴是_所在的直线 中心对称图形,对称中心是_的交点 图示1 菱形的中心到各边的距离均相等. 方法 由对称性可知,菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.与菱形相关的计算可以转化到角三角形中. 知识点3 菱形的判定 注意 菱形的判定的易错情况 (1)一组或两组邻边相等的四边形不一定是菱形,如图(1). (2)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,如图(2). 拓展4 (1)对角线互相垂直平分的四边形是菱形; (2)对角线平分一组内角的平行四边形是菱形. 知识点4 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=_ S=AB DE 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线长度乘积的一半 S= AC.BD S菱形ABCD = 4S AOB = 4 OA OB= AC BD 拓展 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长度乘积的一半. 题型1:菱形的性质 1. 如图,菱形ABCD 的顶点C在直线 MN上,若∠BCM=45 ,∠DCN=25 ,则∠BDC的度数为( ) A.20 B.30 C.35 D.40 2.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD 的顶点 D 在x轴上,边 BC在y轴上,若点A的坐标为(4,5),则点 C 的坐标为( ) A.(0,-2) B.(0,-3) C.(0,-2.5) D.(-2,0) 3. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=36 ,分别以 A,B 为圆心,以大于 AB 长为半径作弧交于两点,过此两点的直线交AD 边于点E,连接BE,BD,则∠EBD 的度数为 . 4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=120 ,点 O 是对角线AC的中点,OE⊥CD于点E,则OE 的长为 . 5.在菱形ABCD中,E,F分别为AD,AB上的点,且AE=AF,连接EF并延长,与CB的延长线交于点 G,连接BD. (1)如图(1),求证:四边形 EGBD 是平行四边形; (2)如图(2),连接AG,若GB=AE,请直接写出长度为线段 FB长度的2倍的线段. 题型2:菱形的面积 1.如图是小陶家一个菱形中国结装饰.测得 BD =8cm ,AC =6 cm.则该菱形的面积为( ) A.24 cm B.48 cm C.10 cm D.12cm 2.如图,四边形ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点 E,则AE的长是( ) A. B.6 C.485 D.12 提升 1.如图,在菱形ABCD中,连接AC,以点 C 为圆心,AC 的长为半径画弧,交AD 边于点 E.再分别以点A,E为圆心,大于 AE 的长为半径在AD上方画弧,两弧交于点 F,作射线 CF 交 AD 边于点 G.若∠B=50 ,则∠ACG的度数为 ( ) A.30 B.25 C.20 D.15 2.如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60 ,AB=6,AC 是一条对角线,E是AC上一点,过点 E作 EF⊥AB,垂足为 F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 . 3.数学兴趣小组受到赵爽弦图启发设计了如图所示的图形:其中四边形 ABCD为菱形, ADH, CBF, AEB, CGD 均为直角三角形.若AH= ,DH=1,CG=2,则EF的长为 . 题型3:利用定义进行判定 1. 如图,在给定的平行四边形ABCD 上,作一个菱形,甲、乙二人的作法如下: 甲:分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,交AD于点 M,交 BC 于点 N,连接MN,则四边形ABNM 为菱形; 乙:以A为圆心,AB长为半径画弧,交AD 于点E,连接BE,作BE的垂直平分线交 BC于点 H,连接EH,则四边形ABHE 为菱形. 根据两人的作法,下列判断正确的是 ( ) A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 2. 如图,将 ABC 沿射线 BC 方向平移得到 DCE,当 ABC满足条件 时(填一个条件),能够判定四边形ACED 为菱形. 题型4;利用对角线互相垂直平分进行判定 1. 如图, ABCD的对角线AC,BD交于点 O,以下条件不能证明 ABCD是菱形的是( ) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD 2.如图所示,平行四边形ABCD的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点O作EF⊥AC,分别交 CD,AB 于 F,E 两点.求证:四边形AECF 为菱形. 3. 如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF. (1)求证:四边形EBFD 是平行四边形. (2)若∠BAC =∠DAC,求证:四边形 EBFD 是菱形. 题型5:四条边相等的四边形是菱形 1. 如图,以点A 为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A 两边于点 M,N,再分别以M,N为圆心,AM 的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40 ,则∠MBN=( ) A.40 B.50 C.60 D.140 2. 如图,在 ABC中,AB=AC,AD 是BC边上的中线,点E 在DA 的延长线上,连接BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F,连接BF,CE.求证:四边形BECF 是菱形. 3. 如图,矩形ABCD 的对角线AC与BD 相交于点O,CD∥OE,直线CE是线段OD 的垂直平分线,CE 分别交 OD,AD 于点F,G,连接DE. (1)判断四边形OCDE的形状,并说明理由; (2)当CD=4时,求EG的长. 提升 1.下列是4位同学所画的四边形,依据所标数据,不一定为菱形的是 ( ) 2. 如图,在 ABC中,D为BC上一点,DE∥AB,DF∥AC.下列条 能判定四边形AFDE 为菱形的是( ) A.点 D 在∠BAC 的平分线上 B. AB=AC C.∠A=90 D. D为BC的中点 3. 某校开展了一次综合实践活动,参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm,且足够长的矩形纸条.探究两张纸条叠放在一起,重叠部分的形状和面积.如图(1)所示,一张纸条水平放置不动,另一张纸条与它成45 的角,将该纸条从右往左平移. (1)写出在平移过程中,重叠部分可能出现的形状. (2)当重叠部分的形状为如图(2)所示的四边形ABCD时, ①求证:四边形ABCD 是菱形. ②求菱形ABCD的面积. 课堂练习 1. 下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( ) A. AB=CD B. AB=BC C.∠BAD=90 D. AC=BD 2.如图,在菱形 ABCD 中,AB = 1,∠DAB =60 ,则 AC 的长为 ( ) A. B.1 D. 3.如图,在菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20 ,则∠2 的度数为( ) A.20 B.60 C.70 D.80 3. 如图,O是坐标原点,菱形ABOC 的顶点 B在x轴的负半轴上,顶点 C 的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 A.( - 4,2) C.( - 2,4) D.( - 4, 4. 图1 是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案,它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分,图2 中的“风筝”和“飞镖”是由图3 所示的特殊菱形制作而成的.在菱形ABCD 中,∠BAD=72 ,在对角线 AC 上截取AE =AB,连接BE,DE,可将菱形分割为“风筝”(凸四边形ABED)和“飞镖”(凹四边形 BCDE)两部分,则图2中的∠ 的度数为 . 5.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是 AB,BC 边上的点,BE = BF,求证:∠DEF =∠DFE. 6.如图,在 ABC中,∠ACB=90 ,D 为AB 的中点,AE∥CD,CE∥AB.求证:四边形ADCE 是菱形. 课后提升 1.如图1,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,要在对角线BD上找两点M、N,使得四边形AMCN是菱形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是( ) A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 2. 如图,把一张长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到有一个锐角为60 的菱形,剪口与折痕所成的∠ 的度数应为( ) A.15 或30 B.30 或45 C.45 或60 D.30 或60 3.如图,四边形ABCD 是边长为4的菱形,O为其对称中心,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若∠ABC=60 ,则阴影部分的面积为 . 4.如图,在 ABC中,AB=BC,D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点. (1)求证:四边形BDEF是菱形; (2)若AB=12cm,求菱形BDEF的周长. 5.如图,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点,且AE=DF,连接BE、BF. (1)试探究BE与BF的数量关系,并证明你的结论; (2)求四边形BEDF的面积. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$