第六章 计数原理 专题06 二项式定理中的最值问题-2021-2022学年“高人一筹”之高二数学“痛点”大揭秘（人教A版2019选择性必修第三册）

第6章 计数原理 专题06 二项式定理中的最值问题 二项式定理中的最值问题,有二项式系数的最值,项的系数的最值,关键分清二项式系数和项的系数的区别。 从近几年高考命题看,考查考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度不大. 【题型导图】 类型一 二项式最值 例1:(2021·全国·高二)已知的展开式中,后三项的二项式系数的和等于,则展开式中二项式系数最大的项为_. 【变式1】(2021·江苏淮安)若的展开式中第3项与第8项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为第_项 【变式2】.(2022·江西)在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数为_. 【变式3】(2022·重庆巴蜀中学)已知的展开式中,所有二项式系数之和为64. (1)求n的值以及二项式系数最大的项; (2)若,求的值. 类型二 项的系数最值问题 例2.(2022·福建省厦门)已知二项式. (1)求展开式的有理项; (2)求展开式的系数最大项. 【变式1】(2021·浙江宁波)在的展开式中,系数绝对值最大的项是( ) A. B. C. D. 【变式2】(2022·江苏·高二)已知,则系数中最小的是( ) A. B. C. D. 【变式3】(2022·浙江·义乌市)已知展开式中各项的二项式系数和为32. (1)求展开式中的有理项; (2)求展开式中系数最大的项. 【限时训练】 1.(2021·江苏省外国语学校)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的系数为( ) A. B. C. D.7 2.(2021·江苏南京)展开式中所有项的系数和为243,展开式中二项式系数最大值为( ) A.6 B.10 C.15 D.20 3.(2022·全国·高二)在的展开式中,只有第项的二项式系数最大,则( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.(2020·江苏省苏州中学)已知在二项式的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,则展开式中,有理项的项数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2022·广东·盐田)在的展开式中,所有奇数项的二项式系数和为32,则展开式中系数最大的项为( ) A. B. C. D. 6.(2020·河南·南阳)已知的展开式中的系数是,则各项系数最大的是 A. B. C. D. 7.已知的展开式中,二项式系数的和为,则它的二项展开式中,系数最大的是第_项. 8.已知展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则_. 9.(2022·江苏·泰州)在二项式展开式中,第3项和第4项的二项式系数比为. (1)求n的值及展开式中的常数项; (2)求展开式中系数最大的项是第几项. 10.(2022·全国·高二)求的展开式中: (1)各项系数之和; (2)各项系数的绝对值之和; (3)系数最小的项. ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学科网(北京)股份有限公司 $第6章 计数原理 专题06 二项式定理中的最值问题 二项式定理中的最值问题，有二项式系数的最值，项的系数的最值，关键分清二项式系数和项的系数的区别。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 二项式最值 例1：（2021·全国·高二）已知的展开式中，后三项的二项式系数的和等于，则展开式中二项式系数最大的项为________． 【答案】和 【解析】由已知得，即，即，解得（舍去负值），所以展开式中二项式系数最大的项为和. 故答案为：和 【变式1】（2021·江苏淮安）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第_______项 【答案】5或6 【解析】根据题意可得， 所以， 所以第的二项式系数为， 所以当或时最大， 所以第5项或第6项的二项式系数最大， 故答案为：5或6 【变式2】.（2022·江西）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为______． 【答案】 【解析】由题知，则， 令，得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 【变式3】（2022·重庆巴蜀中学）已知的展开式中，所有二项式系数之和为64． (1)求n的值以及二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)365 【解析】(1)二项式系数之和为， 故当时，二项式系数最大， 此时所求项为； (2)令得： 令得： 两式联立得：。 【痛点直击】在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大． 类型二 项的系数最值问题 例2.（2022·福建省厦门）已知二项式. (1)求展开式的有理项； (2)求展开式的系数最大项. 【答案】(1)、、 (2)、 【解析】(1)二项式展开式的通项为，且