4二项式定理（13大题型）（题型专练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

4二项式定理 题型一：二项式的项 1．二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 2．二项式展开式中的第4项为______________． 3．的展开式的第3项为_________________． 题型二：二项式的系数 1．展开式中的常数项为（ ） A．40 B．60 C．80 D．120 2．的展开式中的系数为（ ） A．210 B． C．10 D． 3．在的二项展开式中，常数项的值为________________． 4．在二项式的展开式中常数项为__________________． 题型三：已知系数求参 1．若的展开式中的常数项为，则______________. 2．若二项式展开式中的常数项为160，则______________． 3．在的展开式中，常数项为75，则_________________. 4．若的展开式中的系数为231，则_________________. 题型四:乘积二项式 1．在的展开式中，的系数为（ ） A．260 B． C． D．220 2．的展开式中，的系数为（ ） A．60 B．30 C．45 D．15 3．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．120 B．240 C．274 D．282 题型五:三项的二项式系数 1．展开式中的系数为（ ） A． B． C．160 D．80 2．的展开式中，的系数为（ ） A．4 B．32 C．60 D．120 3．在的展开式中项的系数为（ ） A．360 B．540 C．720 D．1080 4．若，则等于（ ） A．400 B．425 C．625 D．800 题型六:二项式系数和 1．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A． B． C．15 D．20 2．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（多选）若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A． B．所有项的系数和为 C．展开式中的有理项共有3项 D．第三项的二项式系数最大 4．（多选）已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 题型七:系数和 1．已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A．10 B．32 C．40 D．80 2．（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项为15 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项的系数和为16 3．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．一共有6项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 题型八:奇偶项系数和 1．（多选）已知，展开式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是（ ） A． B．展开式中的系数为70 C．展开式中奇数项的系数和为 D．展开式中偶数项的二项式系数和为 2．（多选）已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（ ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 3．（多选）设，则下列说法正确的有（ ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 4．（多选）已知多项式，下列正确的是（ ） A． B． C． D． 题型八:构造新二项式（赋值） 1．（多选）已知函数，则（ ） A． B． C．的个位数是9 D． 2．设，则_______________. 3．，则_____________． 题型一：系数最值 1．在的展开式中有理项的个数为（ ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 2．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（ ） A．42 B．35 C．28 D．21 3．若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：逆用二项式定理 1．化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 3．化简：_____________． 3．已知，则_______________. 4．_____________. 题型三：整除和余数 1．若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 2．已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A．1 B．9 C．10 D．0 3．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（ ） A．1 B．4 C．11 D．16 4．若，则被8整除的余数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型一：杨辉三角 1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 2．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 3．（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4二项式定理 题型一：二项式的项 1．二项式的展开式中第5项的系数为（ ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 2．二项式展开式中的第4项为______________． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，， 所以展开式的第4项为. 故答案为：. 3．的展开式的第3项为_________________． 【答案】 【分析】写出二项式展开式通项，进而求第3项即可. 【详解】的展开式的通项为，， 令，得. 故答案为： 题型二：二项式的系数 1．展开式中的常数项为（ ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 2．的展开式中的系数为（ ） A．210 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项求出含的项即可得出结果. 【详解】已知展开式中第项为， 令，解得； 所以含的项为. 因此展开式中的系数为. 故选：D 3．在的二项展开式中，常数项的值为________________． 【答案】 【分析】利用二项式系数的通项公式得，令即可求解. 【详解】由题意有，令，得， 所以. 故答案为：. 4．在二项式的展开式中常数项为__________________． 【答案】112 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】的展开式中常数项为. 故答案为：112. 题型三：已知系数求参 1．若的展开式中的常数项为，则______________. 【答案】1 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 2．若二项式展开式中的常数项为160，则______________． 【答案】2 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 3．在的展开式中，常数项为75，则_________________. 【答案】 【分析】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为，又，解得. 故答案为：. 4．若的展开式中的系数为231，则_________________. 【答案】2 【分析】求出展开式的通项公式，令的次幂为求出，然后利用系数列方程即可求解. 【详解】的展开式的通项，. 令，解得，则，解得. 故答案为：2. 题型四:乘积二项式 1．在的展开式中，的系数为（ ） A．260 B． C． D．220 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中含及的项即可. 【详解】依题意，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为220. 故选：D 2．的展开式中，的系数为（ ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 3．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式确定展开式中的奇数次幂项的系数和的表达式，列方程求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 则的展开式中的奇数次幂项的系数和为， 故，则， 故选：B 4．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．120 B．240 C．274 D．282 【答案】C 【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项. 【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 题型五:三项的二项式系数 1．展开式中的系数为（ ） A． B． C．160 D．80 【答案】A 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 2．的展开式中，的系数为（ ） A．4 B．32 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据二项式的通项公式求解即可.也可速解即根据乘法的运算规律进行求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由得 因此展开式中的系数为． 故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为． 故选：D． 3．在的展开式中项的系数为（ ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【详解】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D 4．若，则等于（ ） A．400 B．425 C．625 D．800 【答案】D 【分析】法一，分解为两个二项式相乘，根据展开式的通项公式求解；法二，看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】解法1：， 与的展开式通项分别为： ，． 由题意知且，解得或或， 因此. 解法2：表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择，选或或2． 设选的有a个，选的有b个，那么选2的有个，故有，解得或， 即选2个、3个2，或者选1个、4个2，因此含项的系数为， 故选：D． 题型六:二项式系数和 1．若二项式的展开式中二项式系数和为64，那么该展开式中的常数项为（ ） A． B． C．15 D．20 【答案】A 【分析】由二项式系数和求得，再由二项式展开式的通项得，令，解出，代入即可求解. 【详解】由题意得，，所以展开式的通项为 令，所以展开式中的常数项为． 故选：A. 2．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式一共有11项，即． 故选：B. 3．（多选）若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A． B．所有项的系数和为 C．展开式中的有理项共有3项 D．第三项的二项式系数最大 【答案】AB 【分析】根据二项式系数和公式，结合代入法、二项式的通项公式逐一判断即可. 【详解】A：因为展开式中二项式系数和为64，有，正确； B：在中，令，所有项的系数和为，正确； C：二项式的通项公式为， 当时，对应的项都是有理项，共有项，不正确， D：根据二项式系数的性质可知：第四项的二项式系数最大，不正确， 故选：AB 4．（多选）已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．二项式系数最大项为第5项 D．展开式中常数项为45 【答案】AD 【分析】由二项式系数和的性质可判断A；由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等可判断B；由二项式系数最大值可判断C；由展开式通项公式可判断D. 【详解】由的展开式中二项式系数之和为1024，可得，故A正确； 由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，可得展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 易知是最大的二项式系数，所以二项式系数最大项为第6项，故C错误； 由，故D正确； 故选：AD. 题型七:系数和 1．已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A．10 B．32 C．40 D．80 【答案】C 【分析】依题令，代入原式求得，写出二项展开式的通项，赋值即可求得展开式中的系数. 【详解】根据题意，在中，令，可得，解得， 则二项式的展开式的通项为，其中， 令，则展开式中的系数为. 故选：C. 2．（多选）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项为15 B．各项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项的系数和为16 【答案】AC 【分析】应用二项式的通项公式计算求解A，结合组合数公式计算判断D，应用系数和计算判断B，应用二项式系数性质判断C. 【详解】的展开式通项为． 当时，常数项为，故A正确； 令，得各项的系数和为，故B错误； 展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故C正确； 有理项指指数为整数的项，即奇数项，其系数和为，故错误． 故选：AC． 3．（多选）在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．一共有6项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 【答案】ACD 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】对于A选项，因为的次数为5，故展开式共有6项，故A正确； 对于B选项，二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，可得第三项为，B不正确； 对于C选项，令可得所有项的系数和为0，故C正确； 对于D选项，所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 题型八:奇偶项系数和 1．（多选）已知，展开式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是（ ） A． B．展开式中的系数为70 C．展开式中奇数项的系数和为 D．展开式中偶数项的二项式系数和为 【答案】ACD 【分析】由展开式中只有第五项的二项式系数最大可得可判断A，由二项展开式的通项可判断B，分别令和可判断C，由二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，由展开式中只有第五项的二项式系数最大，可得第五项为中间项，故展开式共有9项，从而，故A正确； 对于B，展开式中的系数为，故B错误； 对于C，令，可得；令，可得， 两式相加可得，从而，故C正确； 对于D，根据二项式系数的性质，可知展开式中偶数项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）已知展开式中共有8项．则下列结论正确的是（ ） A． B．奇数项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大项为第4项 D．有理项共有4项 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项判断. 【详解】对于A，由的展开式共有8项，得，则，A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，奇数项的二项式系数和为64，B正确； 对于C，由二项式系数的性质知，最大二项式系数为，因此第4项和第5项的二项式系数最大，C错误； 对于D，的展开式的通项公式为， 由为整数，得r的值可以为，则二项展开式中有理项共有4项，D正确. 故选：ABD 3．（多选）设，则下列说法正确的有（ ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误. 【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 4．（多选）已知多项式，下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，在的展开式中，含的项为，即，B正确； 对于C，令，得①，则，C正确； 对于D，令，得②， 由①-②可得：，则，D错误. 故选：ABC 题型八:构造新二项式（赋值） 1．（多选）已知函数，则（ ） A． B． C．的个位数是9 D． 【答案】BD 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即，D对. 故选：BD 2．设，则_______________. 【答案】 【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可. 【详解】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为： 3．，则_____________． 【答案】45 【分析】先变形得到，再利用二项展开式的通项即可求出答案． 【详解】由， 则二项展开式通项为，， 则令，解得， 所以． 故答案为：45． 题型一：系数最值 1．在的展开式中有理项的个数为（ ） A．10个 B．11个 C．12个 D．13个 【答案】D 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，根据指数的特点求解结论． 【详解】展开式的第项为 ， 若第项为有理项，则能被4整除，这样的有13个． 故选：D. 2．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（ ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项解得即可求解. 【详解】展开式的通项为，，即， 解得，故展开式中共有8项， 所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 故选：B 3．若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设二项式通项，待定系数计算即可. 【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时. 故选：A 4．设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果. 【详解】的展开式的通项， 令得，因为，所以当时，有最小值3， 故选：B 题型二：逆用二项式定理 1．化简多项式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 3．化简：_____________． 【答案】 【分析】 逆用二项式定理结合已知条件求解 【详解】 ， 故答案为： 3．已知，则_______________. 【答案】63 【分析】逆用二项式定理从已知等式中求出，根据二项式系数的性质即可求解. 【详解】在二项展开式中中， 令，，得，即，解得. 因为， 所以. 故答案为：63. 4．_____________. 【答案】 【分析】根据二项式定理，将题目中的式子整理为二项式的形式进行计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：. 题型三：整除和余数 1．若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 2．已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 3．已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（ ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合整除思想求解. 【详解】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 4．若，则被8整除的余数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以被8整除的余数为4. 故选：C. 题型一：杨辉三角 1．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，因，而，故D正确． 故选：D． 2．（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【分析】对A：由题意可得，再借助二项式的展开式计算即可得；对B：计算即可得；对C：借助计算即可得；对D：借助，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第20，21行数的最大值分别为a，b，则 【答案】BC 【分析】根据二项式系数的性质判断. 【详解】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； D错，第20行数的最大值为，第21行数的最大值为， 所以． 故选：BC. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $