专题04 错位相减法求数列的前n项和-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

4.错位相减法求数列的前项和 一．边角问题 【例1】（2021年·全国乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. 【方法技巧】 1.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的． 2.错位相减法求和时的3个注意点 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 二．结构不良问题 【例2】（江苏省淮安市淮阴中学2021-2022学年高三上学期12月月考）已知等差数列的公差，其前n项和为，. （1）求p的值及通项公式； （2）若 ，求数列的前n项和. 在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解，如果多写按第一个计分. 【解析】（1）因为等差数列的公差，其前n项和为， 所以解得， 所以，解得； 由可得. （2）选①：， . 选②：； 当为偶数时，； 当为奇数时，； 所以，其中. 选③：， 所以 两式相减可得 ， 所以. 【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的. 【演练提高】 1.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（八））已知数列是各项均为正数的等差数列，满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，和分别为数列和数列的前n项和，求证：. 【解析】（1）设数列的公差为d， 则依题意 解得或（舍）， 所以，所以数列的通项公式； （2）证明：，所以， ，两式相减得， ， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以. 2.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知正项等比数列其前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 【解析】（1）∵，∴.① 又∵，∴.② 由①②得或（舍）， ∴，∴，. （2）由（1）知，，∴，① ，② ①-②得，， ∴. 3.（四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期第三次月考）已知是公差为2的等差数列，，且是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的前n项和． 【解析】（1）依题意，是公差为2的等差数列，，且是和的等比中项， 即，即， 所以. （2）依题意①， 当时，， 当时，②， ①-②得：， 所以. ③， ④， ③-④得：， 所以. 4.（江苏省兴化市、泗阳县2021-2022学年高三上学期12月教学效果测试）已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【解析】（1）当时，， 当时，由，可得，两式作差可得， 易知，也满足， 所以； （2）， ，则， 两式相减，得：， 因此，. 5.（湖北省圆创联考2022届高三下学期2月第二次联合测评）公差不为0的等差数列的前项和为，其中，，成等比数列，且满足． （1）求的通项公式； （2）已知，．求数列的前项和． 【解析】（1） 依题意，，则，整理得：，而，则有， 又，即，于是得，解得：，即或， 所以的通项公式是：或 （2）由（1）及得：，， 则， 因此，， 两式相减得：， 于是得：， 所以数列的前项和. 6.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由已知，得，而，所以 又，解得，所以 由，可得① 由，可得② 联立①②，解得，由此可得 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （2）设数列的前项和为， 由，有， 故 上述两式相减，得 得. 所以，数列的前项和为. 7.（河南省濮阳市2021-2022学年高三下学期开学摸底）已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【解析】（1）设的公差为d，由，解得或， 因为，为方程的两个实根，且单调递增， 所以，，所以 所以，解， 所以， 即的通项公式为． （2）由（1）可得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 8.（江西省上饶市六校2022届高三第一次联考）已知等比数列的前n项和为（b为常数）． （1）求b的值和数列的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和． 【解析】（1）由题设