专题05 利用空间向量解决直线与平面所成的角-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

5.利用空间向量解决直线与平面所成的角 一．求线面角的三角函数值 【例1】（2018年·全国卷II）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为，为的中点，所以，且． 连结． 因为， 所以为等腰直角三角形， 且 由知． 由知平面． （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． 【方法技巧】利用向量求线面角的方法： （1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 二．折叠问题 【例2】（2018年·新课标I）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由已知可得，，，又，所以平面. 又平面，所以平面平面； （2）作，垂足为.由（1）得，平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）可得，.又，，所以.又，，故. 可得. 则 为平面的法向量. 设与平面所成角为，则. 所以与平面所成角的正弦值为. 【方法技巧】平面图形的折叠问题，是常考题型，求解的关键是分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． 三．结构不良问题 【例3】（辽宁省大连市2021-2022学年高三上学期期末）如图，在四棱锥中，. （1）证明：平面； （2）在下面三个条件中选择两个条件：________，求点到平面的距离.①；②二面角为；③直线与平面成角为. 【解析】（1）取的中点为，连接，可知四边形是平行四边形 所以，所以点在以为直径的圆上，所以 又，且平面，所以平面； （2）选①② 因为平面，所以， 又因为，所以二面角的平面角为，所以， 又因为，所以为等边三角形， 因为平面，平面，所以平面平面， 连接交于点，则为的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，所以平面 所以，由题意可知，，所以 故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为，由得， 令，则， 点到平面的距离为. 选①③ 因为平面，平面，所以平面平面， 易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即， 又因为，所以为等边三角形. 连接交于点，则为的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以，由题意可知，，所以 故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为，由得 令，则 点到平面的距离为. 选②③ 因为平面，平面，所以平面平面， 易知为在平面内的射影，即为与平面所成的角，即， 因为平面，所以， 又因为，所以二面角的平面角为，所以， 所以为等边三角形. 连接交于点，则为的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以，由题意可知，，所以， 故以点为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为，由得， 令，则， 点到平面的距离为. 【方法技巧】结构不良问题，需要仔细审题，在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的求解. 【演练提高】 1．（河北省2022届高三仿真模拟卷（二））如图，在三棱锥中，，点E为中点，且平面，F为中点. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：因为，，点E为中点，∴. 又∵平面，平面，∴. 又，，平面，∴平面. 又平面，∴. （2）由（1）可知，，，两两互相垂直，∴.以点E为坐标原点，射线，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的直角坐标系，设，则. ∵，F为中点，∴. ∴. 设平面的法向量为，则即 取，则∴. ∴， 直线与平面所成角的余弦值为. 2．（上海市松江二中2022届高三下学期开学考试）在三棱锥中，已知为中点，平面，. （1）求三棱锥的体积； （2）若点分别为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接，在中，因为为中点， 所以，所以，且， 因为平面，且，即三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积为. （2）由（1）知，且平面， 以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为点分别为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 设直线与平面所成角为，可得， 即直线与平面所成角为. 3．（山东省2022届高三第二次学业质量联合检