专题09 圆锥曲线中的定值问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

9.圆锥曲线中的定值问题 一．代数式定值 【例1】（2019年·新课标Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【解析】（1）在直线上,设，则 又 ，解得： 过点， 圆心必在直线上， 设，圆的半径为， 与相切， ， 又，即， ，解得：或， 当时，；当时，， 的半径为：或. （2）存在定点，使得， 说明如下： ，关于原点对称且， 直线必为过原点的直线，且， ①当直线斜率存在时，设方程为：， 则的圆心必在直线上， 设，的半径为， 与相切，， 又， ，整理可得：. 即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点， ，即抛物线上点到的距离，， ， 当与重合，即点坐标为时，， ②当直线斜率不存在时，则直线方程为：， 在轴上，设， ，解得：，即， 若，则， 综上所述，存在定点，使得为定值. 【方法技巧】求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． 二．弦长定值 【例2】（2017年·新课标3）在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设,,则满足，所以. 又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为， 所以不能出现AC⊥BC的情况. （2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为. 由（1）可得，所以AB的中垂线方程为. 联立又，可得 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径 故圆在y轴上截得的弦长为， 即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 【方法技巧】本题是直线与圆相交问题，利用圆的半径、弦心距、半弦长满足勾勾定理求解. 二．斜率乘积定值 【例3】（2015年·新课标Ⅱ）已知椭圆的离心率为，点在上 （1）求的方程 （2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值. 【解析】（1）由题意有 解得, 所以椭圆C的方程为. （2）设直线,, 把代入得 故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值. 【方法技巧】利用直线的斜率公式，直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 三．结构不良问题 【演练提高】 1.（云南省昭通市2022届高三期末）已知椭圆的左､右焦点分别是，其离心率，点是椭圆C上一点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设是椭圆C上的一动点，由原点O向引两条切线，分别交椭圆C于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值. 【解析】（1）由己知有 解得 椭圆C的方程为； （2）设直线，直线，又直线为圆R的切线， 则， 化简可得， 同理可得， 是方程的两根， 则，可知， 又在椭圆上，则， ， 为定值. 2.（浙江省2022届高三毕业生“极光杯”线上综合测试）在平面直角坐标系中，椭圆C：的左右顶点为A，B，上顶点K满足． （1）求C的标准方程： （2）过点的直线与椭圆C交于M，N两点．设直线MA和直线NB相交于点P，直线NA和直线MB相交于点Q，直线PQ与x轴交于S． ①求直线PQ的方程； ②证明：是定值． 【解析】（1）由题意，，， 所以，解得． 所以的标准方程为． （2）①设，．直线MN的方程为．联立直线与椭圆的方程，消x得 从而由韦达定理得，． 由（1）知，，所以直线和的方程分别为 ， ． 联立直线和，可得交点P的横坐标满足 ，解得，即点总在直线上．同理可得点也在直线上，所以直线的方程为． ②由①，，所以，其中，分别为点，点的纵坐标． 联立直线MA和直线，得； 联立直线MB和直线，得． 所以为定值． 即证. 3.（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期第一次模拟）如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点． （1）求和的值； （2）证明：①为定值； ②直线斜率为定值，并求出该定值． 【解析】（1）①因为直线过定点，且斜率存在，故设直线方程为， 代入中得，又直线交抛物线于两点， 故当时，时，由韦达定理可得： ，所以． ②直线的斜率为， 由（1）知，． 所以． 故直线的斜率为定值，且定值为. 4.已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，. （1）求的标准方程； （2）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值. 【解析】（1）当点为上顶点时，的面积取得最大值， ，， 又， 解得， 椭圆