专题12 随机变量的均值与方差-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

12.随机变量的均值与方差 一．求均值 【例1】（2016年·课标2）某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 保费 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率； （3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 【解析】（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 （2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 又，故 因此所求概率为 （3）记续保人本年度的保费为，则的分布列为 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为. 【例2】（2013年·新课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A， 第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件C， 第二次取出的1件产品是优质品为事件D， 这批产品通过检验为事件E， ∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝. （2）X的可能取值为400，500，800，并且 P(X＝400)＝1－，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝＝， ∴X的分布列为 X 400 500 800 P EX＝400×＋500×＋800×＝506.25. 【方法技巧】求离散型随机变量ξ的均值的步骤 ①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由均值的定义求E(ξ). 二．求方差 【例3】（北京市海淀区2021届高三上学期期末考试模拟）据有关权威发布某种传染病的传播途径是通过呼吸传播，若病人（患了某种传染病的人）和正常人（没患某种传染病的人）都不戴口罩而且交流时距离小于一米90%的机率被传染，若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流时距离小于一米时60%的机率被传染，若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距离小于一米时30%的机率被传染上，若病人和正常人都带口罩且交流距离大于一米时不会被传染．为此对某地经常出入某场所的人员通过抽样调查的方式对戴口罩情况做了记录如下表 男士 女士 戴口罩 不戴口罩 戴口罩 不戴口罩 甲地 40 20 30 10 乙地 10 30 45 15 假设某人是否戴口罩互相独立 （1）求去甲地的男士带口罩的概率，用上表估计所有去甲地的人戴口罩的概率． （2）若从所有男士中选1人，从所有女士中选2人，用上表的频率估计概率，求戴口罩人数X的分布列和期望． （3）上表中男士不戴口罩记为“”，戴口罩记为“”，确定男士戴口罩的方差为，和女士不戴口罩记为“”，戴口罩记为“”确定女士戴口罩的方差为．比较和的大小，并说明理由． 【解析】（1）设“去甲地的男士带口罩”为事件，则， 设“去甲地的人戴口罩”为事件，则， （2）设“男士带口罩”为事件，则， 设“女士带口罩”为事件，则， 所有男士中选1人，从所有女士中选2人，戴口罩人数， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 （3）， ， ， 100名男士中有50人戴口罩，50人不戴口罩， 100名女士中有75人戴口罩，25人不戴口罩， 从数据分布可看出来女士戴口罩的集中程度要好于男士，所以其方差偏小. 【方法技巧】牢记均值与方差的七个常用性质 若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)E(X1