专题17 利用导数证明不等式-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

17.利用导数证明不等式 一．单变量不等式的证明 【例1】（2021年·全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明:． 【解析】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证， ， ， 即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，假设能取到，则，故； 当时，，单增，假设能取到，则，故； 综上所述，在恒成立 【方法技巧】证明单变量不等式的2种方法 (1)利用单调性证明单变量不等式。 一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式。若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可。 (2)利用最值证明单变量不等式。 利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x)。证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x)min>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的等号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证。 二．双变量不等式的证明 【例2】（2021年·新高考Ⅰ卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，， 故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立. 综上所述，. 【方法技巧】双变量不等式的证明 证明双变量函数不等式的常见思路 (1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式。 (2)整体换元。对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式。 (3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明。 三．结构不良问题 【例3】（2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷（二））已知函数，．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题． ①，②，③． （1）（ⅰ）______，曲线在点处的切线经过点，求实数a的值； （ⅱ）求证：是曲线的一条切线． （2），当，时，求证：． 【解析】（1）（ⅰ）选①， 则， ， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． 选②， 则， ， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． 选③， 则， 则， 所以切线斜率． 又，所以切点为， 所以切线方程为． 因为切线经过点，所以， 解得． （ⅱ）由，得． 设切点为，则，得， 所以，则切点坐标为， 则切线方程为，即， 所以是曲线的一条切线． （2）令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即． 若要证明，只需证明， 即证．先证当时， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，即，所以． 故只需证明． （直接证明时，计算比较复杂，所以利用放缩法证明） 令， 则，所以在上单调递减， 所以当时，， 所以．综上知，，即原不等式成立． 【方法技巧】第二问解题的关键在于借助第一问的结论将问题转化为证明，进而结合不等式进一步转化为证明. 【演练提高】 1.（安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高三上学期开学考试）设，满足，证明： （1）对任意正数，有； （2）对任意正数a，b，有． 【解析】（1）令，则，且． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值． 故对任意，有，结论得证． （2）令，则，且 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值． 而，其中， 故对任意，有，所以，结论得证． 2.已知. （1）求关于的函数的单调区间； （2）已知，证明：. 【解析】（1）因为，所以 或，即的增区间为和 有，即的减区间为． （2）因为 令，即不等式等价于，即只需证，设 所以在递增，故，即，亦即． 3.（2021届山西省名校联考高三三模）