2022年中考冲刺中档题特训一

中档解答提分特训一 1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°． （1）求证：AB＝BD； （2）若AE＝3，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵∠C＝45°， ∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°， ∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°， ∴∠BAC＝∠ADB， ∴AB＝BD； （2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3， ∴BE＝＝， 在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3， ∴EC＝＝3， ∴BC＝3+， ∴S△ABC＝BC×AE＝． 2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中， ，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a， 由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去）， ∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE， ∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，设EF＝x，则BF＝x+4， ∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2， 由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+． 3．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开． （1）求AB的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离． （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【解答】解：（1）∵B为AD′中点， ∴AB＝AD′, ∵AD′＝40cm， ∴AB＝20cm； （2）如图，过点B作BE⊥AD于点E, ∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°, ∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm ∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm), ∵AD′＝40cm， ∴40﹣13.6＝26.4(cm)． ∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm． 4．如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2． （1）求a的值． （2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）． ∵对称轴为直线x＝2， ∴＝2． 解得a＝3； （2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3． ∴抛物线向下平移3个单位后经过原点． ∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x． 5．如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）求直线AM的解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）， ∴2×22+2m＝0， ∴m＝﹣4， ∴y＝2x2﹣4x ＝2（x﹣1）2﹣2， ∴顶点M的坐标为（1，﹣2）， （2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵图象过A（2，0），M（1，﹣2）， ∴， 解得， ∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4． 6．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题： （1）直接写出工厂离目的地的路程； （2）求s关于t的函数表达式； （3