专题06 椭圆的标准方程-2021-2022学年高二数学《基础•重点•难点 》全面题型高分突破（沪教版2020选择性必修第一册）

专题06 椭圆的标准方程 题型一 椭圆的标准方程 例题1若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（       ） A．2 B．3 C．5 D．7 例题3若椭圆与椭圆有相同的焦点，则实数a的值为______． 【解题技巧提炼】 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？ [提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2. (2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 点拨1 1．利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程． 2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算． 点拨2 1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 点拨3 1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在． 2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的． 题型二 椭圆的标准方程 例题1若椭圆的一个焦点为，则m的值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 例题2 设椭圆的左､右焦点分别为，，上顶点为B.若，则该椭圆的方程为（       ） A． B． C． D． 例题3如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 ． 题型一 椭圆的定义 1.已知椭圆的焦点为，点满足，则（　　） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 2．已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型二 椭圆的标准方程 1.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1处，片门位于另一个焦点F2处．从焦点F1处发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到焦点F2处．已知BC⊥F1F2，F1B＝3.2cm，F1F2＝6cm.试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程． 2．已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______. 故答案为：. 3．已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________． 4．已知椭圆的中心在原点，长半轴长为，短半轴长为，且经过点，，则椭圆的标准方程为___________． 一、填空题 1．已知椭圆的焦距等于，则实数的值为______ 2．已知三角形ABC的周长是8，顶点B，C的坐标分别为，（1，0），则顶点A的轨迹方程为________． 3．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______． 4．已知椭圆的中心在原点，长半轴长为，短半轴长为，且经过点，，则椭圆的标准方程为___________． 5．若