回归教材重难点01 数列-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

回归教材重难点01 数列 数列一般作为高考全国卷第17题或第18题，数列作为高中数学学科的主干内容，又是历年来是高考重点考查内容之一，经常以其作为载体考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力.但是考查内容又比较侧重基本公式的应用和基础运算能力，所以掌握数列的常见题型及解题策略尤为重要.而作为数列解答题目的考查，命题立意相对稳定，难度上多为中档题目.若在学习过程中掌握了典型题型的解题方法，就可以在高考中顺利地解决数列问题.数列主要考查以下题型： (1)等差数列与等比数列的综合； (2)求解数列的通项和前项和； (3)数列的综合. 1.判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下. (1)定义法：对于的任意正整数： ①若为一常数，则为等差数列； ②若为常数，则为等比数列. (2)通项公式法： ①若，则为等差数列； (2)若，则为等比数列. (3)中项公式法： ①若，则为等差数列； ②若，则为等比数列. (4)前项和法：若的前项和满足： ①，则为等差数列. ②，则为等比数列. 2.常见求解数列通项公式的方法有如下六种： (1)观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式. (2)累加法：形如的解析式. (3)累乘法：形如 (4)公式法 (5)取倒数法：形如的关系式 (6)构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差(比)数列构造为等差(比)数列来求通项公式. 3.求数列前项和的常见方法有以下四种. (1)公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和. (2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式. ①分式裂项：； ②根式裂项：； ③对数式裂项； ④指数式裂项 4.几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可. 【详解】 （1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，       ⑧ 则．        ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】 本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 2．（2021·全国·高考真题（文））记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而求出的通项公式，最终得证. 【详解】 ∵数列是等差数列，设公差为 ∴， ∴， ∴当时， 当时，，满足， ∴的通项公式为， ∴ ∴是等差数列. 【点睛】 在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况. 3．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】 (1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】 (1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】 等差数