回归教材重难点03 立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学（文）三轮冲刺过关

回归教材重难点03 立体几何 立体几何解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突破的核心内容之一. 高考数学立体几何解答题，主要采用“论证与计算”相结合的方式，在命题上一般包含小问，会涉及到空间点、线、面位置关系的判定与探究，特别是平行与垂直关系的证明；空间角(包括异面直线夹角、直线与平面所成角)或空间距离(包括空间几何体的体积、表面积和点到平面的距离等)的计算.立体几何在解题能力方面的要求是：在数学思想上，一般涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想；在解题方法上，一般涉及几何法. 1.全国卷高考数学立体几何一般设问方式是直接求解空间角、空间距离体积.解决这类问题一般需要先根据题意，通过数学抽象将几何问题转化为代数问题，最后还原到几何体中求解相应的几何量. 2.翻折问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程.解决翻折问题，关键是对翻折前后不变量及不变性的把握，即将翻折前后的图形进行比较，弄清楚哪些角和长度变了，哪些没变(可以观察各面的位置关系变化，同一面上的边角基本不会变)；哪些点、线共面，哪些不共面；翻折后的线与原来的线有什么关系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直线. 3.解决存在性问题主要有以下方法： 几何法，即分析法与综合法并用，一般先假设存在，借助相应的性质定理进行分析推理，得出结论.若存在，再用判定定理证明，即先猜后证；若不存在，则用反证法证明. 4.开放性问题相对于存在性问题而言，有其结论的多样性，即结论的不确定性.如果结论是肯定的，需要通过推理论证或者转化为向量运算进行说明；如果是否定的，则需要得出矛盾，利用反证法或者通过数量关系的矛盾性解决. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知D为棱上的点，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积； （2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论. 【详解】 （1）由于，，所以， 又AB⊥BB1，，故平面， 则，为等腰直角三角形， ，. （2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结， 正方形中，为中点，则， 又， 故平面，而平面， 从而. 【点睛】 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化. 2．（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面； （2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出． 【详解】 （1）因为底面，平面， 所以， 又，， 所以平面， 而平面， 所以平面平面． （2）[方法一]：相似三角形法 由（1）可知． 于是，故． 因为，所以，即． 故四棱锥的体积． [方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法      由（2）知,所以． 建立如图所示的平面直角坐标系，设． 因为，所以，，，． 从而． 所以，即．下同方法一. [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法    建立如图所示的空间直角坐标系， 设，所以，，，，． 所以，，． 所以． 所以，即．下同方法一. [方法四]：空间向量法      由，得． 所以． 即． 又底面，在平面内， 因此，所以． 所以， 由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义， 得，即． 所以，即．下同方法一. 【整体点评】 (2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积； 方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解； 方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长. 3．（2020·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据正方形性质得，根据长方体