回归教材重难点02 三角函数与解三角形-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

回归教材重难点02 三角函数与解三角形 三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。 1.已知三角函数解析式求单调区间： ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2.函数图象的平移变换解题策略： ①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为. ②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 3.解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一般多根据正弦定理把边转化成角，，，或是； 第三步：出结果，写步骤． 4.三角形中的最值与取值范围问题，常见涉及到求边长、角度、面积、周长、比值等相关内容的最值或取值范围问题．解题方法常见两大类：①建立不等式关系：建立不等式关系常见方法有基本不等式、三角形三边关系、角度等；②建立函数关系常见的几种方式：i．利用内角和这个关系，通过消元，结合三角恒等变换把目标化为这样的单角函数，进而化为求三角函数的值域问题；ii．恰当对题中的边、角设元，利用正、余弦定理等相关定理建立函数关系式，这种方法一定要结合实际意义注意引入的“元”的取值范围（即定义域）；iii．利用题中的等式关系，把某部分看出整体进行换元，消元建立单变量函数关系，把问题转化为求函数值域问题． 5.几何图形问题的处理主要有以下方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】 （1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 2．（2021·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】 （1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结