回归教材重难点01 数列-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

回归教材重难点01 数列 数列一般作为高考全国卷第17题或第18题，数列作为高中数学学科的主干内容，又是历年来是高考重点考查内容之一，经常以其作为载体考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力.但是考查内容又比较侧重基本公式的应用和基础运算能力，所以掌握数列的常见题型及解题策略尤为重要.而作为数列解答题目的考查，命题立意相对稳定，难度上多为中档题目.若在学习过程中掌握了典型题型的解题方法，就可以在高考中顺利地解决数列问题.数列主要考查以下题型： (1)等差数列与等比数列的综合； (2)求解数列的通项和前项和； (3)数列的综合. 1.判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下. (1)定义法：对于的任意正整数： ①若为一常数，则为等差数列； ②若为常数，则为等比数列. (2)通项公式法： ①若，则为等差数列； (2)若，则为等比数列. (3)中项公式法： ①若，则为等差数列； ②若，则为等比数列. (4)前项和法：若的前项和满足： ①，则为等差数列. ②，则为等比数列. 2.常见求解数列通项公式的方法有如下六种： (1)观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式. (2)累加法：形如的解析式. (3)累乘法：形如 (4)公式法 (5)取倒数法：形如的关系式 (6)构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差(比)数列构造为等差(比)数列来求通项公式. 3.求数列前项和的常见方法有以下四种. (1)公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和. (2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式. ①分式裂项：； ②根式裂项：； ③对数式裂项； ④指数式裂项 4.几种常见的数列放缩方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） ； （10） ； （11） ； （12）； （13）. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】 (1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】 (1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】 等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 2．（2021·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】 （1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知       ① 于是．            ② 由①②得．        ③ 又，            ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：    由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法    由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且． 下面用数学归纳法证明． 当时显然成立． 假设当时成立，即． 那么当时，． 综上，猜想对任意的都成立． 即数列是以为首项，为公差的等差数列． （2） 由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 【整体点评】 （1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论； 方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解； 方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的