回归教材重难点03 空间向量与立体几何-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

回归教材重难点03 空间向量与立体几何 立体几何解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突破的核心内容之一. 高考数学立体几何解答题，主要采用“论证与计算”相结合的方式，在命题上一般包含小问，会涉及到空间点、线、面位置关系的判定与探究，特别是平行与垂直关系的证明；空间角(包括异面直线夹角、直线与平面所成角和二面角)或空间距离(包括空间几何体的体积、表面积和点到平面的距离等)的计算.立体几何在解题能力方面的要求是：在数学思想上，一般涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想；在解题方法上，一般涉及几何法、向量法，往往是两种方式相结合进行处理. 1.全国卷高考数学立体几何一般分两种设问方式，一种是直接求解空间角或空间距离；另外一种是已知空间角或者空间距离，求解相关几何量的大小..解决这类问题一般需要先根据题意建立合适的空间直角坐标系，然后通过数学抽象将几何问题转化为代数问题，找到关键量的坐标表示(需引入参数，但要求尽可能少的参数，一般可以用共线向量处理)，再用待定系数的方法进行直接运算，求解函数或方程，得出参数的具体值，最后还原到几何体中求解相应的几何量. 2.翻折问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程.解决翻折问题，关键是对翻折前后不变量及不变性的把握，即将翻折前后的图形进行比较，弄清楚哪些角和长度变了，哪些没变(可以观察各面的位置关系变化，同一面上的边角基本不会变)；哪些点、线共面，哪些不共面；翻折后的线与原来的线有什么关系，尤其要注意找出相互平行或垂直的直线. 3.解决存在性问题主要有以下方法： (1)几何法，即分析法与综合法并用，一般先假设存在，借助相应的性质定理进行分析推理，得出结论.若存在，再用判定定理证明，即先猜后证；若不存在，则用反证法证明. (2)向量法，即建立适当的空间直角坐标系，利用假设存在符合题意的条件，结合题意，根据空间向量的坐标运算列出方程.若方程有解，则存在；若方程无解或者所求不符合题意，则不存在. 4.开放性问题相对于存在性问题而言，有其结论的多样性，即结论的不确定性.如果结论是肯定的，需要通过推理论证或者转化为向量运算进行说明；如果是否定的，则需要得出矛盾，利用反证法或者通过数量关系的矛盾性解决. 5.“新定义”题型解题步骤 解题时可以分这样几步： (1)对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。 (2)细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。 (3)对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】 （1）取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 2．（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长； （2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】 （1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法 平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结．因为底面，且底面，所以． 又因为，，所以平面． 又平面，所以． 从而． 因为，所以． 所以，于是． 所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法      如图，联结交于点N． 由[方