专题08 圆锥曲线中的最值与范围问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

8.圆锥曲线中的最值与范围问题 一．三角形面积的最值 【例1】（2021年·全国乙卷）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【解析】（1）抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 【方法技巧】圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．　 二．直线斜率的范围 【例2】（2016年·新课标2卷）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （1）当t=4，时，求△AMN的面积； （2）当时，求k的取值范围. 【解析】（1）设，则由题意知，当时，的方程为，. 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以. 因此的面积. （2）由题意，，. 将直线的方程代入得. 由得，故. 由题设，直线的方程为，故同理可得， 由得，即. 当时上式不成立， 因此.等价于， 即.由此得，或，解得. 因此的取值范围是. 【方法技巧】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　 三．结构不良问题 【例3】（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知椭圆左、右焦点分别为，.给出下列条件：①椭圆过点，且离心率；②椭圆过点，且；③焦距为2，且离心率. （1）在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2）在（1）的条件下，若直线与椭圆交于点，，且，求的取值范围. 【解析】选①，∵椭圆过点，∴， ∵，∴，∴. ∵，∴，∴，∴， ∴椭圆的方程为； 选②，∵椭圆过点，且，∴，. ∵，∴，∴，∴， ∴椭圆的方程为； 选③，∵，∴.∵，∴，∴，， ∴椭圆的方程为. （2）联立得， 由，得. 设，，则有，. ∵，且，∴，∴. 当时，等式成立；当时，， 整理得，得. 可知上式恒成立，故直线的斜率的取值范围是. 【方法技巧】结构不良问题，需要仔细审题，在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的求解. 【演练提高】 1.（辽宁省沈阳市大东区2022届高三下学期质量监测）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故即， 故，所以椭圆的方程为：. （2）设，因为直线交y轴正半轴于点A，则，， 又，故， ，故， 因为，故，所以，所以， 故即. （3）由（2）可得，而， 故， 因为，故，故的最大值为. 2.（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（三））已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的左右顶点为，，且动点，在双曲线上，直线与直线交于点，，，求的取值范围. 【解析】（1）设双曲线的标准方程为， 联立得，，所以双曲线的标准方程为. （2）已知，，，. 当时，动点与点，重合， 当时，直线，直线， 联立两直线方程得. 又因为，即，所以，即. 又， 且，所以. 3.已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点. （1）若，求的面积； （2）若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 【解析】（1）抛物线的焦点为， 时，直线， 联立，可得， 设，，，， 则，． ， 点到直线的距离距离， 的面积． （2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为， ∴可设直