专题14 均值方差在决策中的应用-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

14.均值方差在决策中的应用 一．竞赛答题类型 【例1】（2021年·新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【方法技巧】利用期望与方差进行决策的方法 （1）若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E(ξ1)＝E(ξ2)时，不应误认为它们一样好，需要用D(ξ1)，D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好． （2）若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近． （3）若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好．若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定．　 二．检验产品 【例2】（2018年·新课标I卷）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点； （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【解析】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为. 因此. 令，得.当时，；当时，. 所以的最大值点为； （2）由（1）知，. （i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，， 即. 所以. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于，故应该对余下的产品作检验. 【方法技巧】【方法技巧】均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均水平． 三．游戏闯关 【例3】（河北省邯郸市2022届高三上学期期末）某真人闯关游戏，在某一情境中玩家需在A、B两个关卡中寻找线索，玩家先从A、B两个关卡中任选一关作为第一关，若找到线索则进入另一关卡，若未找到线索则闯关结束，且玩家先选A和先选B的概率相等．若玩家在A闯关成功则获得2枚金币，否则获得0枚金币；在B关闯关成功则获得3枚金币，否则获得0枚金币．已知某玩家在A关卡中闯关成功的概率为0.8，在B关卡中闯关成功的概率为0.6，且每个关卡闯关成功的概率与选择初始关卡的次序无关． （1）求该玩家获得3枚金币的概率； （2）为获得更多的金币，该玩家应选择从哪关开始第一关？并说明理由． 【解析】（1）由题可知该玩家第一关在B关卡中闯关成功，在A关卡中闯关失败， ∴该玩家获得3枚金币的概率． （2）①记X为从A关卡开始第一关获得的金币枚数， 则X所有可能的取值为0，2，5， ；；， ∴． ②记Y为从B关卡开始第一关获得的金币枚数， 则Y所有可能的取值为0，3，5， ；；， ∴． ∵， ∴该玩家应选择从A关卡开始第一关． 【方法技巧】当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断． 【演练提高】 1．（四川省泸州市2022届高三第二次教学质量诊断）某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品. 等级 四级品 三级