专题13 正态分布的实际应用-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

13.正态分布的实际应用 一．求、的估计值 【例1】（2017年·全国卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件 数，求及的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故. 因此. 所以的数学期望为. （2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽 取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的. （ii）由，得的估计值为，的估计值为， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外， 因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为， 因此的估计值为10.02. ，剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 【方法技巧】正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 二．判断犯错误概率 【例2】（2021山东省泰安肥城市高三适应性训练（三））某车间用一台包装机包装葡萄糖，每袋葡萄糖的重量是一个随机变量，它服从正态分布.当机器工作正常时，每袋葡萄糖平均重量为0.5kg，标准差为0.015kg. （1）已知包装每袋葡萄糖的成本为1元，若发现包装好的葡萄糖重量异常，则需要将该袋葡萄糖进行重新包装，假设重新包装后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量满足，则认为该袋葡萄糖重量正常.问：在机器工作正常的情况下，至少包装多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包装好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相应成本的最小期望值. （2）某日开工后，为检查该包装机工作是否正常，随机地抽取它所包装的葡萄糖9袋，若抽取的9袋葡萄糖称得净重(kg)为：0.496，0.508，0.524，0.519，0.495，0.510，0.522，0.513，0.512.用样本平均数作为的估计值，以作为检验统计量，其中为样本总数，服从正态分布，且. ①若机器工作正常时，每袋葡萄糖的重量服从的正态分布曲线如下图所示，且经计算得上述样本数据的标准差0.022.请在下图（机器正常工作时的正态分布曲线）中，绘制出以该样本作为估计得到的每袋葡萄糖所服从的正态分布曲线的草图. ②若，就推断该包装机工作异常，这种推断犯错误的概率不超过，试以95%的可靠性估计该包装机工作是否正常. 附：若随机变量服从正态分布：， 参考数据：； 【解析】（1）由题意可知，机器工作正常的情况下每袋葡萄糖的重量服从正态分布 ,设为次独立重复包装葡萄糖重量正常的袋数. 由，知服从二项分布. 于是 即解得： 故需至少包装4袋葡萄糖，才能使“至少有一袋包装的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98. 而 故相应成本 ， 所以相应成本的最小期望值为5.2696元. （2）①如图所示，经计算得 ，（绘图时只需保证在的右侧，且峰值略低于原图像峰值） ②易得，，， 所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该包装机工作异常，应该进行调试. 【方法技巧】正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越