专题18 利用导数解决存在性、探究性问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

18.利用导数解决存在性、探求性问题 一．存在性的问题 【例1】（2018年·新课标I卷）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 【解析】（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时， 所以在单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，. 所以在单调递减， 在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设， 则. 由于， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减， 又，从而当时，. 所以，即. 【方法技巧】“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化．构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．　 二．探求性问题 【例2】（2019年·新课标Ⅲ）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】（1）对求导得.所以有 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，区间上单调递增； 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增. （2）若在区间有最大值1和最小值-1，所以 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立. 若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 . 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增. 即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为 而，故所以区间上最大值为. 即相减得，即，又因为，所以无解. 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增. 即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为 而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解. 若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增. 所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为 即解得. 综上得或. 【方法技巧】存在性问题的求解策略 解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．　 【演练提高】 1.（安徽省淮南市2022届高三上学期一模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为 因为，所以． 令，则， 所以函数在区间单增；在区间单减． 又因为，所以当时， 所以函数在区间，上均单调递减； （2） 当，时，所求不等式可化为， 即， 易知， 由（1）知，在单调递减， 故只需在上能成立． 两边同取自然对数，得，即在上能成立． 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ， 所以，又，故的取值范围是． 2.（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期期末）已知函数 ，． （1）求证： 在定义域内有且只有一个零点； （2）若存在 ，使得 ，求实数的取值范围． 【解析】（1） 的定义域为 ，， 令 ，得 ，当 时，， 单调递减； 由于当 时，，所以 在 内无零点； 当 时，， 单调递增，，， 由零点的存在性定理， 在 有零点，且只有一个零点． （2）由题意知：只需 ，， 设 ， ，令 ，得 ， 故 在 单调递减， 单调递增， ①若 ，则 在 单减，则只需 ， 即 ， 记 ，， 因为 ， 所以 在 递减，在 递增， 而 ，， 所以 在 恒成立， 又因为 ， 所以 对任意 恒成立． ②若 ，，只需 ， 即 ，解得 ， 综上，． 3.（重庆市长寿区2022届高三上学期期末）已知函数，． （1）若在处与直线相切，求出实数、的值以及的单调区间； （2）若，是否存在实数，当时，不等式有解？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由． 【解析】（1），依题意， ，得m＝－1，n＝2， ∴，令，得－2＜x＜1， 又函数的定义域是， ∴函数的单调递增为，单调递减为． （2）当n＝2时，， 令，得，又函数的定义域是， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 即函数在上单调递减， 又，令，得0＜x＜e，∴在上单调递增． 当时，不等式有解， 等价于，即，得，． ∴存在m的值符合条件，且m的范围是． 4.（江西省上饶市六校2022届高三第一次联考）已知函数，其中a≠0. （1）若，讨论函数f(x)的单调性； （2）是否存在实数a，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）时，， 当时，