专题02 利用正弦定理、余弦定理求解四边形问题-备战2022高考数学解答题之痛点“一一戳穿”

2.利用正弦定理、余弦定理求解四边形问题 一．边长与角 【例1】（2018年·新课标I）在平面四边形中，，，，. （1）求； （2）若，求. 【解析】（1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以. 由题设知，，所以； （2）由题设及（1）知，. 在中，由余弦定理得 . 所以. 【方法技巧】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 二．面积问题 【例2】（2014年·全国Ⅱ）四边形的内角与互补，． （1）求和； （2）求四边形的面积． 【解析】（1）连接．在和中，利用余弦定理列等式 和，且，代入数据得 ，求的值，进而求和的值；（2）由（1）知和的面积可求，故四边形等于和的面积． （1）由题设及余弦定理得．① ．② 由①②得，故，． （2）四边形的面积 ． 【方法技巧】与三角形面积有关问题的解题策略： (1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式． (2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题， 一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． (3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解． 三．结构不良问题 【例3】（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求. 如图，在平面四边形中，，，______，，求. 【解析】选择①： 所以； 由余弦定理可得 所以 选择②：设，则，， 在中，即 所以 在中，，即 所以. 所以，解得， 又，所以， 所以. 【方法技巧】结构不良问题，需要在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的. 【演练提高】 1．（重庆市第八中学2022届高三下学期高考适应性月考卷（五））如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，. （1）求的长； （2）求的面积. 【解析】（1）在中，由余弦定理得： ，解得：， 设为外接圆半径，由正弦定理得：， 即. （2）为直径，， ，，又， . 2．（山东省2022届高三第二次学业质量联合检测）如图，D是△ABC外一点，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，，且△ABC的面积是△ADC面积的2倍，求b的值. 【解析】（1）在△ABC中，由及正弦定理，得， 整理得， 即. 因为在△ABC中，，所以. 又，所以. （2）由（1）知， 因为，， 所以. 又，， 所以，解得. 因为，所以. 3．（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知四边形内接于圆，，，是钝角. （1）求的最大值； （2），求四边形周长的最大值. 【解析】（1）设圆的半径为. 因为内接于圆，且，，由正弦定理得. 又是圆的弦，所以，所以的最大值为4. （2）在中，由正弦定理得，即， 所以. 因为是钝角，所以，所以，即. 由得，设，， 在中，由余弦定理得， 即，所以，当且仅当时，取得最大值， 所以四边形周长的最大值为. 4．（湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（五））如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°． （1）求∠ACD； （2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围． 【解析】（1）在中，由余弦定理得： ，所以， 又因为，所以． （2）由，且，可得， 在中，由正弦定理得， 所以，     因为为锐角三角形，，， 所以，可得， 则，所以，所以， 所以的取值范围为． 5．（2021年·广东韶关市高三综合测试）如图，在中，对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积. 【解析】（1）由正弦定理及已知，得， ，，， ， 又，所以，即； （2）由A､B､C､D四点共圆得， 设，在三角形中，由余弦定理得 所以，而， ， ，因此. 6．（2021年·辽宁省高三期中）在梯形ABCD中，已知，，对角线AC，BD交于O，，，． （1）把BD，分别用的函数表示； （2）若，，，求的值和的面积． 【解析】（1）过A点作交CD的延长线于E， 则，，， 在三角形ACE中，由正弦定理，得， 所以，所以，， 所以，. （2）因为， 所以，所以， 在中， 由余弦定理得， 解得或， 又，所以或， 因为当时， ,与矛盾， 所以， 所以，所以． 7．（2021年·山东潍坊市高三核心素养测评）如图，在平面四边形ABCD中