8.6.2直线与平面垂直（第1课时）（导学案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)

《8.6.2 直线与平面垂直》 （第1课时 直线与平面垂直的判定） 导学案 参考答案 新课导学 （一）新知导入 【问题1】旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直 【问题2】旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直。 （二）直线与平面垂直 知识点一 直线与平面垂直的定义 （1） 定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足。 （2） 记法：l⊥α （3） 图示： （4） 性质：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.　 【思考】　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直. 【做一做】答案：A 知识点二 直线与平面垂直的判定 【探究3】容易发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD、DC都垂直。 （1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 （2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α。 （3）图形语言： 【思考1】　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直. 【思考2】　垂直. 【辩一辩】 答案：(1)×　(2)√ 【做一做】【解析】∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC， ∴OA⊥平面OBC. 答案：C 知识点三 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 [0°，90°] 【做一做】【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°. 答案：45°　45°　0° （三）典型例题 【例1】【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG， 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD. 【巩固练习1】【证明】(1)因为AB为⊙O的直径， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB. 又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB. 例2.【解】(1)∵直线A1A⊥平面ABCD， ∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝. (2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1， 又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O. ∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角， 在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°， 即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°. 【巩固练习2】【解】连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D， ∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影， ∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为a，∵E是AB的中点，EO1∥AC， ∴O1是BO的中点，∴EO1＝AO＝×＝， B1O1＝＝＝，∴tan∠EB1O1＝＝＝. （四）操作演练 素养提升 答案：1.A 2.A