8.6.2 直线与平面垂直-2020-2021学年高一数学新教材配套导学案（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直 学习目标: 1. 掌握直线和平面垂直的判断定理和性质定理. 2. 会求直线和平面所成的角. 预习案 1. 直线和平面互相垂直 (1)定义:如果直线与平面内的 任意一条直线 都垂直，就说直线与平面互相垂直. 记作.直线叫平面的 垂线 , 平面叫直线的 垂面 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫 垂足 . (2)推论(线面垂直线线垂直): 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意直线. 符号表示:. 过一点垂直于已知平面的直线有且只有 一 条. 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的 垂线段 ,垂线段的长度叫 点到该平面的距离 . 即时练习1：四棱锥中，平面,试写出与垂直的直线. 答案：SD,BD,SB 即时练习2：如图，已知，，求证. 文字语言: 如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面 . (可通过该推论来证明线面垂直) 证明：在平面内取两条相交直线， 又是两条相交直线. 2. 直线与平面垂直的判定定理 定理: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 . 符号表示为:. 即时练习3：四棱锥的底面是正方形，平面,求证：平面. 证明：为正方形 又 平面. 3. 直线和平面所成的角 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线 ，斜线和平面的交点叫做 斜足 . 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的 射影 . 平面的一条 斜线和 它在平面上的射影 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 即时练习4: 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面. （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积. 【分析】 （1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得平面； （2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P- ABCD的体积. 【详解】 解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以PD⊥AC，又， 故AC⊥平面PBD； （2）因为PD⊥平面ABCD， 所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角， 于是∠PBD=45°， 因此BD=PD=2.又AB= AD=2， 所以菱形ABCD的面积为， 故四棱锥P- ABCD的体积. 4. 直线与平面垂直的性质定理(线面垂直线线平行) 定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行 . 符号表示为:. 即时练习5:如图,和都垂直于平面,且,是的中点,求证:平面. 证明：设中点为,M 连结 为平行四边形 又 平面. 5. 空间中的距离 (1) 一条直线和一个平面平行时, 这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫这条直线到这个平面的距离. (2) 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等,把它叫做两个平行平面间的距离. 探究案 1. 如图所示，四边形是正方形，平面，. (1)求证：平面； (2)求 与平面所成的角的大小. 【分析】 (1)由四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，再由DE⊥平面ABCD，得到AC⊥DE，然后利用线面垂直的判定定理证明； (2)设AC∩BD＝O，连接EO，根据AC⊥平面BDE，得到∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.求解. 【详解】 (1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. ∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥DE， ∵BD，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D， ∴AC⊥平面BDE. (2)设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示. ∵AC⊥平面BDE， ∴EO是直线AE在平面BDE上的射影， ∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角. 在RtEAD中，EA＝， ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝， ∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°. 2．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. （1）证明：平面； （2）若,,求直线与平面所成角的正切值. 【分析】 （1）证明AC⊥BC和PA⊥BC，BC面PAC即得证； （2）先证明∠BPC为PB与平面PAC所成的角，再通过解三角形求出即得解. 【详解】 证明：(1)为圆O直径 ∠ACB=90°即AC