专题2.5 旋转的两种模型与真题训练-2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用） 专题2.5旋转的两种模型与真题训练 题型一：奔驰模型 一．填空题（共2小题） 1．（2021•岳阳模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有　 　（填序号） ①△BPQ是等边三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB＝150° ④∠APC＝135° 2．（2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数　 　． 二．解答题（共1小题） 3．（2019•碑林区校级三模）问题提出 （1）如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小． 问题探究 （2）在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小． 问题解决 （3）如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？ 若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由． 题型二：费马点模型 一．填空题（共2小题） 1．（2020•碑林区校级模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为　 　． 2．（2020•崇州市模拟）如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝　 　． 二．解答题（共5小题） 3．（2021•雁塔区校级模拟）【问题情境】 如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为 　 　． 【问题解决】 如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）． 4．（2021•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务： 费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”． 下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，…． 任务：（1）材料中，判定△A′AB为等边三角形的依据是 　 　． （2）请你完成剩余的部分． （3）如图，△ABC为锐角三角形，以AC为一边作等边△ACD，⊙O是△ACD的外接圆，连接BD交⊙O于点M，求证：M是△ABC的费马点． 5．（2018•禹会区一模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°． ①求证：△ABP∽△BCP； ②若PA＝3，PC＝4，则PB＝　 　． （2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2） ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点． 6．（2018•温岭市模拟）（1）知识储备 ①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：