专题06 解三角形压轴小题12种归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题06 解三角形压轴小题12种类型 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 三解三角形基础：角与对边 1 【题型二】 三角形求周长最后自 2 【题型三】 辅助角+均值不等式+余弦定理 3 【题型四】 辅助角和均值与面积最值 5 【题型五】 消角 6 【题型六】 万能正切 8 【题型七】 正余弦定理综合应用：判断三角形形状 10 【题型八】 外接圆 11 【题型九】 内切圆 13 【题型十】 重心与垂心 14 【题型十一】 图形：中线与角平分线 16 【题型十二】 综合 18 二、最新模考题组练 21 【题型一】 三角题基础：角与对边 【例1】 在中，角所对的边分别为，已知，．当变化时，若存在最大值，则正数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，，所以根据正弦定理可得，所以，，所以 ，其中，， 因为存在最大值，所以由，可得， 所以，所以，解得，所以正数的取值范围为，故选C． 【例2】 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，a＝1，则△ABC面积的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意首先求得△ABC的外接圆半径，然后将三角形面积公式转化为关于∠B的函数，由△ABC为锐角三角形可得，据此确定△ABC的面积的取值范围即可. 【详解】 由正弦定理可得，，， ， 又为锐角三角形，，即，， ，. 【例3】 在中，内角，，的对边分别为，，，且面积为，则面积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 由已知利用三角形的面积公式可求，可得，的值，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的面积公式即可求解其最大值． 解：，，，，， 又，由余弦定理可得：，， 当且仅当时取等号，． 面积的最大值为．故选：． 【题型二】 三角形求周长最值 【例1】 在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得 ，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围． 【详解】 ∵，， 可得：， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得，∴，即． ∴周长 ．故选A． 【例2】 在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据余弦的和角公式及辅助角公式，可求得角A的值；利用余弦定理结合基本不等式即可求得a的取值范围，进而得到周长的取值范围． 【详解】 ∵，，可得， ，解得， ∵， ∴由余弦定理可得 ∵由， ，得，∴，即． ∴周长．故选A 【例3】 在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果. 【详解】因为，故可得，又，故可得. 因为，故可得 整理得，则.故可得， 因为，故可得.则 故可得.故选：C. 【题型三】 辅助角+均值不等式+余弦定理 【例1】 已知的内角对的边分别为，，当内角最大时，的面积等于 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 分析：已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值即可求出三角形的面积. 详解：已知等式利用正弦定理化简得：，两边平方得：，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，此时，则的最小值为，此时C最大，且，则的面积，故选A. 【例2】 ,则的最大面积为 A．3 B． C．2 D．无法确定 【答案】B 【详解】 分析：由利用正弦定理得,由余弦定理得到,由平方关系求出,根据面积公式化简的面积的表达式,利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值. 详解： ，由余弦定理及得，， 的面积， 当时，即，的面积有最大值， 的最大面积是，故选B. 【例3】 在中，内角的对边分别为，若的面积为，则的最大值为 A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 利用余弦定理可得，结合三角形面积为可得可化为 ，从而可得结果. 【详解】由题意得，，∴，又， ∴， ∴ ， 则的最大值为，故选C 【题型四】 辅助角和均值与面积最值 【例1】 已知中， ， ， 成等比数列，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由已知可知，即，，即 ， ， 原式等于 ，设 即原式等于 ，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B. 【例2】 满足条件的三角形的面积的最大值是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 分析：设，根据三角形的面积公式和余弦定理，得出关于的