专题15 解三角形中角平分线、中线、高线问题的考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题15 解三角形中角平分线、中线、高线问题的考法 一、中线 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 推导过程：在中，， 在中， 联立两个方程可得： 【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法： 推导过程：由， 则 所以 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 二、角平分线 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 推导过程：在中，， 在中，，， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为， 所以， 所以 整理的：（角平分线长公式） 三、垂线 1、分别为边上的高，则 2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。 考向1 三角形的中线问题 【例1】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝acos C＋csin A，点M是BC的中点. （1）求A的值； （2）若a＝，求中线AM长度的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为b＝acos C＋csin A， 根据正弦定理得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin（A＋C）＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Csin A， 所以cos Asin C＝sin Csin A. 因为sin C≠0，所以tan A＝. 又0＜A＜π，所以A＝. （2）在ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3. 因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，所以b2＋c2≤6. 因为AM是BC边上的中线， 所以＝， 两边平方得||2＝（b2＋c2＋bc）≤＝××（b2＋c2）＝， 当且仅当b＝c＝时，中线AM的长度取得最大值. 【变式1-1】已知中，内角，，所对的边分别为，，，，且. （1）求的大小； （2）若的面积为，求边上中线的长度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由正弦定理得，， R为外接圆半径且 ，， ， 因为，所以， 所以，得， 所以， 又，则， 所以，得，所以； （2）由（1）得为等腰三角形，设， 则，解得， 则， 在中，， 所以， 即，解得， 所以边上中线的长度为. 【变式1-2】在中，是边的中线，，且． （1）求的面积； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则， ； （2）由得，延长到，使，连接． 由平面向量加法的平行四边形法则可得， 所以，， ，即的长为． 【变式1-3】在中，角所对的边分别是，. （1）求角的大小； （2）是边上的中线，若，，求的长. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴. （2）在中，，，，∴， ∴， ∵是的中线，∴， 在中，由余弦定理得 . 考向2 三角形的角平分线问题 【例2】已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为． （1）求； （2）若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题可知，所以， 由余弦定理，所以，可得， 因为，所以. （2）不妨令，因为，可得，， 又因为为的角平分线， 所以，，得， 所以在中，由余弦定理可得， 即， 在中，可得，， 所以，为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理可得， 得． 【变式2-1】在中，角，，所对的边分别为，，.且满足，，且. （1）若，求外接圆半径； （2）若设边上的角平分线长为2，求的面积的最小值. 【答案】（1）2；（2） 【解析】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 可得， 又，， 由得，又，，. （2）由（1）可知，， 设，则， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 在中，由正弦定理，得， 所以，得， 解得，当且仅当时取等， ， 所以的面积的最小值为. 【变式2-2】如图，在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线． （1）求及线段BC的长； （2）求△ADE的面积． 【答案】（1），BC＝6（2） 【解析】（1）∵，∴，∴，∴ 由余弦定理得（负值舍去），即BC＝6. （2）∵，，∴，∴， ∵AE平分∠BAC，， 由正弦定理得：， 其中， ∴， ∵AD为BC边的中线，∴， ∴. 【变式2-3】在中，角的对边分别为，已知． （1）求A； （2）若与的角平分线交于点D，求周