第二章 抛物线及其标准方程2-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：抛物线的性质 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．抛物线的简单几何性质 2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆] 抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦半 径|PF| |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0 |PF|＝ y0＋ |PF|＝－y0 焦点 弦|AB| |AB|＝ x1＋x2＋p |AB|＝ p－x1－x2 |AB|＝ y1＋y2＋p |AB|＝ p－y1－y2 3.通径[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求] 通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示． 对于抛物线y2＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝2p，故抛物线的通径长为2p. 题型一：抛物线的简单几何性质 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．(　　) (2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．(　　) (3)抛物线是轴对称图形．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________． (2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________. (3)抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为__________________________________． (4)(教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________． 答案　(1)x2＝16y　(2)4　(3)y轴　(4)16 解析　(4)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0. ∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 3.(1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． [解]　(1)抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0. (2)椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3， ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3或x＝3. 拓展提升 与抛物线几何性质相关问题的求解策略 (1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解． (2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解． 4.如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴． (1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程； (2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e. 解　(1)如图， 设AB⊥x轴于E，则由AB＝2得E(，0)， ∴A(，1)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2·p·， ∴2p＝. ∴抛物线方程为y2＝x. (2)由(1)知2p＝，∴＝， ∴抛物线的准线方程为x＝－， 焦点坐标为，离心率e＝1. 题型二：抛物线的焦点弦问题 5.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的倾斜角为θ.求证： (1)|AB|＝2； (2)|AB|＝； (3)x1x2＝，y1y2＝－p2； (4)＋为定值； (5)S△AOB＝. [证明]　(1)∵x1＋x2＝2x0， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2. (2)(ⅰ)当θ≠90°时，设直线AB的方程为 y＝k(k≠0)． 由 消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， ∴x1＋x2＝p. 又k＝tanθ＝，代入|AB|＝x1＋x2＋p，得 |AB|＝·p＋p＝. (ⅱ)当θ＝90°