第二章 轨迹2-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：轨迹方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 求曲线方程的一般步骤 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．(　　) (2)化简方程“|x|＝|y|”为 “y＝x”是恒等变形．(　　) (3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 题型一：直接法求曲线方程 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________． (2)直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是________________________________________________________． (3)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是_________________________________________________________________． 答案　(1)x2＋y2＝4　(2)x＋2y－4＝0 (3)8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0 　　　　　　　　　　　　　　　 3.A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程． [解]　解法一(直接法)：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)， ∵P在BC的垂直平分线上， ∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)． ∵P也在AB的垂直平分线上， ∴|PA|＝|PB|，即＝. 化简，得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程． 解法二(参数法)：建立坐标系，得A(0,3)． 设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，① 则点B的坐标为(t＋2,0)，于是AB的中点是. 从而AB的垂直平分线方程为y－＝.② 由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求． 拓展提升 求曲线方程分直接法和间接法，直接法的步骤如下：①建立适当坐标系；②设出动点坐标M(x，y)；③写出动点M满足的条件等式；④将条件等式坐标化；⑤验证满足所求方程的点是否均在曲线上． 4.已知在直角三角形ABC中，∠C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程． 解　如图，设C(x，y)，则 ＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)． ∵∠C为直角， ∴⊥，即·＝0. ∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0，化简得x2＋y2＝1. ∵A，B，C三点要构成三角形， ∴A，B，C三点不共线，∴y≠0. ∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)． 题型2：定义法求曲线方程 5.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． [解]　如图， 设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ. 设M为OC的中点，则M的坐标为. ∵∠OPC＝90°， ∴动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上， 由圆的方程得2＋y2＝(0<x≤1)． 拓展提升 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征． 6.已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程． 解　作出图象如图所示， 根据直角三角形的性质可知 |OM|＝|AB|＝3. 所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆， 故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 题型3：关点法(代入法)求曲线的方程 7.已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程． [解]　设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)． 由重心坐标公式得 所以 代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1， 所以y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程． 拓展提升 代入法的定义及解题步骤 (1)定义 若动点P依赖于已知曲线上的动点M，借助于动点M求动点P的轨迹方程的方法通常叫代入法，又叫相关点法(动点M叫相关动点)． (2)求解步骤 ①设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)； ②利用条件求出两动点坐标之间的关系 ③代入相关动点的轨迹方程； ④化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”． 8.动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹． 解　设动点P(x，y)，M(x0，y0)． 因为P为