第三章 空间向量及其加减运算-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量及其加减运算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量 (1)定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度 向量的大小叫做向量的长度或模． (3)表示方法 (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0. ②单位向量：模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a. ④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b. (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 题型一:空间向量的概念 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．(　　) (2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(　　) (3)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　) (4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是________． (3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： ①－＝________. ②＋＋＝________. ③＋－＝________. (4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用，，表示向量，则＝________. 答案　(1)球面　(2)　(3)①　②　③　(4)＋＋ 解析　(4)＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋(－＋)＝＋＋. 3.给出下列命题： ①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同． ②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模长也相等，应有＝. ③真命题．向量的相等满足传递规律． ④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等． ⑤真命题．根据零向量的定义可知． [答案]　A 拓展提升 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的． 4.(1)给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量与向量的长度相等． 其中正确命题的序号为________． 答案　④ 解析　①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如≠但||＝||，④正确． (2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________． 答案　②③ 解析　①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确． 题型二：空间向量的加减运算 5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　) ①(－)－；②(＋)－；③(－)－；④(－)＋. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [解析]　①(－)－＝＋＋＝； ②(＋)－＝＋＋＝＋＝； ③(－)－＝＋＝－＝－＝≠； ④(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠. 因此，①②两式的运算结果为向量，而③④两式的运算结果不为向量.故选A. [答案]　A [结论探究]　例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量的有哪些？ ①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(－