第三章 空间向量的正交分解及其坐标表示-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量的正交分解及其坐标表示 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p 结论 存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用{e1，e2，e3}表示． (2)空间直角坐标系 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． 题型一：基底的概念 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　) (2)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2 a2＋λ3 a3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 (2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________． (3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)． (4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________． 答案　(1)A　(2)(2，－1,3) (3)②　(4)(0,2,1)　(2,2,1) 3.若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． [解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为空间的一个基底， ∴a，b，c不共面， ∴此方程组无解． ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底． 拓展提升 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 4.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　解法一：由空间向量共面的充要条件知： 若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不能作为基底． 若②中，假设x，y，z共面，则z＝λx＋μy， 即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)， 则此方程组无解． ∴x，y，z不共面，故②能作为基底． 同理，③能作为基底． 对④，若x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)＋μ(b＋c) 即此方程组无解． ∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作为基底． 解法二：如图所示， 设a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝， z＝，a＋b＋c＝， 由A，B1，C，D1四点不共面， 可知向量x，y，z也不共面， 同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 题型二：用基底表示向量 5.如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的