第三章 空间向量的数乘运算-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量的数乘运算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 λa的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ<0 方向相反 (3)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. ②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 2．共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 (2)共面向量 题型一：空间向量的数乘运算 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．(　　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　) (3)如果＝＋t，则P，A，B共线．(　　) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b. (2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________． (3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝______，y＝______. (4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于________． 答案　(1)－　(2)10　相反　(3)1　　(4) 解析　(4)＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝. 3.已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． (1)＝＋y＋z； (2)＝x＋y＋. [解]　(1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－， ∴y＝z＝－. (2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点， ∴＋＝2，＋＝2，∴＝2－，＝2－， ∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2. 拓展提升 利用向量的线性运算求参数的技巧 利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 4.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－； (2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值． 解　(1)－(＋)＝－＝＋＝. (2)连接AE，则＝－＝(＋)－－＝－－， ∴x＝，y＝－，z＝－. 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型二：共线向量 5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝. 求证：E，F，B三点共线． [证明]　连接EF，EB，设＝a，＝b，＝c. ∵＝2，＝， ∴＝，＝. ∴＝＝b，＝(－) ＝(＋－)＝a＋b－c. ∴＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， ∴＝，∴E，F，B三点共线． [条件探究]　将例2的条件改为“O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线． 证明　连接AO，AC1，A1C1. ∵＝， ∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋. ∵＝2，＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋＝＋. ∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线． 拓展提升 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 6.已知向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线． 解　设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)， ∵e1，e2不共线，∴无解． ∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线． 题型三：共面向量 7.如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面． [证明]　因为＝＝＝＝k， 所以＝k，＝k，＝k，＝k. 由于四边形ABCD是平行四边形， 所以＝＋，因此＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－