第二章 椭圆及其标准方程1-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：椭圆方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．椭圆 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}． 2．椭圆的标准方程 题型一：椭圆的定义 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________． (3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝______，b＝______，c＝________. (4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________． 答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6 解析　(1)∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆． 3.已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠±3) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) [解析]　∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2， ∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2. 又∵A，B，C三点不共线， ∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)． [答案]　A 拓展提升 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆． (2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. 4.已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 解　设圆P的半径为r. 又圆P过点B，∴|PB|＝r. 又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 即点P的轨迹方程为＋＝1. 题型二：椭圆标准方程的应用 5.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9<m<16 B．－9<m< C.<m<16 D．m> [解析]　依题意可得 解得<m<16. [答案]　C [条件探究]　若将例2条件“y轴”改为“x轴”，其他条件不变，试求实数m的取值范围． 解　依题意可得解得－9<m<. [结论探究]　如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？ 解　由题意得c2＝(m＋9)－(16－m)＝2m－7， 所以c＝，又<m<16， 所以0<2m－7<25，c∈(0,5)， 所以焦距2c∈(0,10)． 拓展提升 方程＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是 　　　　　　　　　　　　　　　 6.(1)“3<m<7”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得3<m<7且m≠5， 所以3<m<7且m≠5⇒3<m<7， 而3<m<7推不出3<m<7且m≠5. 所以，“3<m<7”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． (2)已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，并且焦距为6，求实数m的值． 解　∵2c＝6，∴c＝3. 当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的