第二章 双曲线及其标准方程2-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：双曲线的性质 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．双曲线的简单几何性质 2．等轴双曲线 (1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； ②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝. 题型一：双曲线的简单几何性质 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等轴双曲线的离心率为.(　　) (2)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) (3)与双曲线渐近线平行的直线与此双曲线有且只有一个公共点．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　　　　　　　　　　　　　 2．做一做 (1)(教材改编P61练习T1)双曲线－y2＝1的实轴长为(　　) A．4 B．2 C. D．1 (2)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________. (3)双曲线x2－16y2＝1的实半轴长为________，虚半轴长为________． (4)焦点在x轴上，且焦距为4的等轴双曲线方程为________． 答案　(1)A　(2)y＝±x　2　(3)1　　(4)－＝1 3.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，得a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x＝±x. 作草图： 拓展提升 (1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 (2)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上． (3)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中，双曲线的渐近线即两条对角线所在的直线． 依据(2)，(3)，可画出双曲线的大致图形． 4.(1)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 答案　C 解析　因为0<θ<，所以sinθ>0，cosθ>0，所以双曲线C1的实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率e1＝，双曲线C2的实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ＝，焦距2＝，离心率e2＝，所以两个双曲线的离心率相等． (2)已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与椭圆＋x2＝1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x 答案　A 解析　椭圆＋x2＝1的焦点坐标为(0，±2)，双曲线my2－x2＝1(x∈R)的焦点坐标为，由题意得 ＝2，所以m＝，所以双曲线my2－x2＝1即－x2＝1的渐近线方程为±x＝0即y＝±x. 题型二：双曲线的离心率问题 5.(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1,2) B. C．[2，＋∞) D. (2)我们把离心率e＝的双曲线－＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图是双曲线－＝1(a>0，b>0，c＝)的图象，给出以下几个说法： ①若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线； ②若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)且∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线； ③若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为________． [解析]　(1)由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足<tan30°， 即b<a.∴3b2<a2，∴3(c2－a2)<a2，c2<a2， ∴e2<，∴－<e<. 又e>1，∴1<e<. (2)①正确．由得c2－ac－a2＝0，所以e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，该双曲线是黄金双曲线． ②正确.＝(c，b)，＝(－a，b)． 因为∠F1B1A2＝90°，所以·＝0. 所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac，由①可知该双曲线是黄金双曲线． ③正确．由解得M，N的坐标分别为，，所以＝，＝. 因为∠MON＝90°，所以·＝c2－＝0，即b2＝ac，由①知该双曲线是黄金双曲线． [答案]　(1)B　(2)①②③ [条件探究]　若把例2(1)的条件“30°”改为“60°”，“