第二章 双曲线及其标准方程1-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：双曲线方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．双曲线 (1)定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述 设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}． 2．双曲线的标准方程 题型一：双曲线标准方程的认识 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　) (3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB<0)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若双曲线－＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________． (2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________． (3)(教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)． ①x2－＝1；②＋＝1(a<0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1. 答案　(1)4或12　(2)　(3)－＝1或－＝1 (4)②③④ 解析　(3)∵a＝5，c＝7，∴b＝＝＝2. 当焦点在x轴上时，双曲线方程为－＝1； 当焦点在y轴上时，双曲线方程为－＝1. 3.若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 [解析]　曲线方程可化为＋＝1，θ是第三象限角，则cosθ<0，>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A. [答案]　A 拓展提升 双曲线方程的认识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． 4.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线 答案　C 解析　原方程化为－＝1， ∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线． 题型二：双曲线的标准方程 5.求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点； (2)两焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，且过P. [解]　(1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得(不符合题意，舍去)． 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 －＝1(a>0，b>0)． ∵M，N在双曲线上，∴ 解得即a2＝9，b2＝16. ∴所求双曲线方程为－＝1. (2)由已知可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 代入点P可得－＝1，① 又a2＋b2＝25，② 由①②联立可得a2＝9，b2＝16， ∴双曲线方程为－＝1. [解法探究]　例2(1)有没有其他解法呢？ 解　∵双曲线的焦点位置不确定， ∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵M，N在双曲线上，则有 解得 ∴所求双曲线方程为－＋＝1，即－＝1. 拓展提升 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求． 6.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)； (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． 解　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)， F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1. 由题意，知 解得 故双曲线的方程为－＝1. (2)∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲