第二章 曲线方程-2022选修2-1数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-1 曲线方程 测试内容：曲线方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 重点：曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 题型一：曲线与方程的概念 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，则方程f(x，y)＝0即为曲线C的方程．(　　) (2)若曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，则坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．(　　) (3)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)写出曲线xy＋4x－3y＝0与坐标轴的交点的坐标________． (2)直线C1：x＋y＝0与直线C2：x－y＋2＝0的交点坐标为________． (3)(教材改编P37T2)点A在方程x2＋(y＋1)2＝5表示的曲线上，则m＝________. (4)x2＋y2＝1(x>0)表示的曲线是________． 答案　(1)(0,0)　(2)(－1,1)　(3)－3或　(4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y轴右侧的部分 　　　　　　　　　 3.分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. 拓展提升 判断方程是否是曲线的方程的两个关键点 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上． 4.设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是(　　) A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0 C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0 答案　D 解析　命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D. 题型二：点与曲线的位置关系 5.已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围． [解]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10， ()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上． (2)因为曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)， 所以a2＝－a2＋2a＋k. 所以k＝2a2－2a＝22－， 所以k≥－，所以k的取值范围是. 拓展提升 点与曲线位置关系问题的求解方法 判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手． (1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数． 　 　　　　　　　　　　　　　　　 6.已知0≤α<2π，若点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α. 解　∵点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上， ∴(cosα－2)2＋sin2α＝3， ∴cos2α－