查补易混易错点09 计数原理及二项式定理-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

查补易混易错点09计数原理及二项式定理 高考对计数原理及二项式定理的考查比较稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.计数原理与排列组合作为概率计算的基础有两个特点:一是难度不大但容易产生因重复或遗漏，造成错误；二是结合日常生活实际或数学文化为背景出题.解题之道是仔细分析整个事件，如何通过分类或分步达成事情的解决，元素与元素有无差异，有无顺序之别.另外还要关注运用一些常用的方法，如捆绑法、揷空法、全排消序法等.二项式定理的关键是二项展开式的通项公式，题目或多或少都以它为中心展开，所以要抓住通项公式灵活运用，另外，涉及展开式的系数和的问题，一般用赋值法解决. 计数原理与实际生活联系紧密，在题目所创设的现实问题情境中，需对其进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题.在这一过程中，积累用数学解决实际问题的经验，提升应用能力，培养和建立数学建模核心素养. 二项式定理题型及其思路相较于其他章节不那么灵活多变，根据不同题型，方法也相对固定，如通项分析法、赋值法、夹逼法，二项式定理有利于养成程序化思考问题的习惯，促进数学思维的发展，提升运算求解能力. 高考五星高频考点，2019年~2021年高考全国卷基本在选择填空题进行考查. 易错题【01】求解“至少”问题计数重复 【突破点】排列组合中有一类“至少”问题,若使用分步计数很容易出现计数重复,如从1,2,3,4中任取2个数字,至少有1个偶数,问有多少种不同取法,若先取1个偶数,再从另外3个 数中任取1个,计数会重复,这是因为先2后4或先4后2的结果是一样的,求解此类问题,一般是分类求解,如该问题可分2类：仅有1个偶数及有2个偶数. 易错题【02】利用分步乘法原理计数,分步标准错误 【突破点】仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法,这n类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成n个步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步乘法计数原理. 易错题【03】分组问题混淆“均分”与“非均分” 【突破点】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为：.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分堆时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组. 易错题【04】计数时混淆有序与定序 【突破点】有序是指元素排列有顺序的区别,元素相同,位置不同是不同的结果,定序是指不同元素的相对位置固定,不同元素的定序排列可看作组合问题,此外对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数. 易错题【05】混淆二项式系数与系数 【突破点】要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1项的系数是,其值只与有关,与无个,系数是该项中的常数,在(a＋b)n的展开式中,系数最大的项是中间项；但当a,b的系数不是1时,系数最大的项的位置就不一定在中间,需要利用通项公式,根据系数的增减性具体讨论而定. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】 【分析】 先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】 根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】 本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 2．（2021·全国·高考真题（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 采用插空法